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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 9
Lição 5: Resolução de equações do segundo grau por fatoração- Resolução de equações do segundo grau por fatoração
- Resolução de equações do segundo grau por fatoração
- Equações do segundo grau por fatoração (introdução)
- Resolução de equações do segundo grau por fatoração: coeficiente principal ≠ 1
- Equações do segundo grau por fatoração
- Resolução de equações do segundo grau usando a estrutura
- Resolva equações usando a estrutura
- Problema de equações do segundo grau: dimensões de um triângulo
- Problema de equações do segundo grau: dimensões de uma caixa
- Resolução de equações de segundo grau com fatoração (antigo)
- Revisão da resolução de equações do segundo grau por fatoração
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Resolução de equações de segundo grau com fatoração (antigo)
Um vídeo antigo em que resolvemos várias equações de segundo grau usando métodos de fatoração. Criado por Sal Khan e Fundação CK-12.
Quer participar da conversa?
- Bom, vi vários comentários que não me agradou muito, e tenho certeza que não agradou a toda essa equipe que nos proporciona um curso completo de matemática, totalmente de graça.
Aprendem a agradecer, pois está ótimo...
Tem dúvida, não entendeu?
Bom, o que vou falar pode machucar alguns mas, é necessário!
Você precisa ter uma base! Comece no começo do conteúdo, façam como eu fiz comecei em "Fundamentos de matemática", fui seguindo... não me arrependo, nem um pouco.
Todo o conteúdo ministrado até agora está de excelência!
O estudo é como uma árvore, temos que aduba-la(aprender), molha-la(estudar, praticar) e depois deixa-la em um lugar fresco e com muito Sol(diversão), já viram alguma planta crescer forte e firme para suportar os frutos(Metas, Campeonatos, um bom emprego, e muitas outras coisas) e tempestades(empecilhos) há de vir sem isso?
Tomara que isso ajudem vocês de alguma maneira!(8 votos)- Comecei lá no Fundamentos da Matemática também e recomendo a todo mundo. Parece perda de tempo porque é tudo muito óbvio/fácil por lá, mas se o objetivo é aprender de 100%, tem que começar do 0%.
Aliás, isso me lembra de uma frase do Bruce Lee: "Esvazie seu copo para que possa se tornar cheio. Torne se vazio para ganhar a totalidade". Ou seja, se queremos aprender algo de verdade, temos que começar do zero e deixar de lado tudo o que achamos que sabemos.
Um dos problemas do site da Khan Academy é que, pra acessar o conteúdo na ordem certa, tem que clicar no link "Visualizar lista completa do conteúdo", que fica meio escondido. Tinham que se basear um pouco no layout do Duolingo, em que você sabe exatamente onde está o começo, meio e fim das lições.(2 votos)
- Galera que não entendeu, mesma resposta que dei ao pessoal anterior:
Tente começar por conteúdos mais simples, vai em "Álgebra I" e depois em "Multiplicação e fatoração de expressões". E comece sempre pelo começo, se você entender as primeiras partes do conteúdo que ti falei você entende esse. ^^
Se você viu o conteúdo e não entendeu este, revise, veja outros sites, pergunte seu professor.
Abraços,,(8 votos)- Correto. Vale sempre a pena pegar do começo, ajuda a formar uma boa base.(6 votos)
- O último exercício pode-se fazer direto sem usar a "diferença de quadrados" , é só dividir 25 por 4 que vai dar 6,25 e depois tirar a raiz e o resultado também vai ser 2,5 ou -2,5 !(2 votos)
- obrigada pelas orientações(1 voto)
- sou avó ,minha neta não está acompanhando o raciocínio da fatoração com numeros exatos,tenho 65 anos e estou tentando ensiná-la(1 voto)
- mais como eu fazer fatoração direta(1 voto)
- não entrediz nada nada(1 voto)
- porque não consigo enteder matematica :'((1 voto)
- Basta somente praticar, com o tempo fica tudo muito divertido :)(4 votos)
- nao é que é ruim é fato dele explicar(1 voto)
- Eu não consegui entender !' :/(1 voto)
- Numa equação do 2º grau que tenha o coeficiente a=1, podemos fatorar. Começando por descobrir quais dois números somados são iguais ao coeficiente b e multiplicados são iguais ao coeficiente c. Depois é só montar (x+a)*(x+b).(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA - Vamos resolver algumas equações quadráticas por fatoração. Digamos que eu tenha x² - 4x igual a 21. Agora, nosso impulso seria tentar faturar um x,
e de alguma forma estabelecer x igual a 21,
e isso não nos levará a boas soluções. Provavelmente, terminaremos fazendo algo que não é justificável. O que precisamos fazer é colocar a expressão quadrática toda de um lado da equação. Vamos fazer do lado esquerdo. Então, vamos subtrair 21 dos dois lados da equação. O lado esquerdo torna-se x² + 4x - 21 igual a 0. Do lado esquerdo será igual a 0.
E do jeito que queremos resolver isso, isso é uma equação quadrática. Temos uma expressão quadrática estabelecida como igual a 0. A forma que queremos resolver é fatorá- la e dizer: "Legal cada um desses fatores
poderiam ser iguais a 0". Então, como fatoramos isso? Vimos, no último vídeo, que precisamos
descobrir dois números cujo produto seja igual a -21 e cuja soma seja igual a 4. Isso poderia ser "a" + "b", que teria que ser igual a 4. Como se o produto é negativo,
eles terão que ter sinais diferentes. Vamos ver: um número que sobressalta
para mim é o 7 e o 3. Se tenho -7 e +3, chegaria à soma -4. Então, vamos fazer com o 7 e o -3. Então, "a" e "b" são +7 e -3. Quando pego o produto chego a -21. Quando pego a soma chego a +4. Posso reescrever essa equação aqui. Poderia reinscrever a equação na sua forma faturada
como: x + 7 vezes x - 3 igual a 0. Agora podemos resolver. Veja, tenho duas quantidades. Se o produto é igual a 0, isso significa que um ou os dois fatores precisam ser iguais a 0. Então, isso significa que x + 7 é igual a 0. Isto é um x, ou x - 3 é igual a 0. Eu poderia subtrair 7 dos dois lados
da equação, chegaria a x é igual a -7. Aqui, posso acrescentar 3 aos dois lados
da equação e chegarei a x é igual a 3. Por isso, os dois números são soluções para esta equação. Pode tentar, se x for 7, -7² é 49. -7 vezes 4 é igual a -28. Isso é realmente igual a 21. Deixarei você tentar com +3. Beleza, vamos fazer! 3² é 9, +4 vezes 3 é 12. 9 + 12 é 21.
Vamos fazer mais um monte de exemplos. Digamos que eu tenha x² + 49 igual a 14x. De novo, quando vir alguma coisa assim, coloque todos os termos de um lado da equação e chegue a 0 no outro lado. É a melhor forma de resolver uma equação quadrática. Então, subtraímos 14x dos dois lados.
Podemos escrever isso como x² - 14x + 49 igual a 0. Obviamente, 14x - 14x é igual a 0. A quantidade -14x é essa quantidade aqui. Agora, precisamos apenas pensar quais são os dois números que, quando pego o produto vou chegar a 49.
E quando pego a soma vou chegar ao -14. Um, eles precisam ter o mesmo sinal, porque é um número positivo aqui. E os dois vão ser negativos, porque sua soma é negativa. Aqui tem uma coisa interessante: 49 é um quadrado perfeito, seus fatores são 1, 7 e 49. Então, talvez 7 funcione, ou ainda melhor,
talvez -7 funcione. E funciona -7 vezes -7 é 49, e -7 + -7 é -14. Temos esse padrão, onde temos 2 vezes um número e, depois, temos o número ao quadrado. Esse é um quadrado perfeito. Isso é igual a x - 7 vezes x - 7 igual a 0. Não queremos esquecer isso, ou podemos escrever como (x - 7)² é igual a 0. Então, esse era um quadrado perfeito de um binômio. E (x - 7)² é igual a 0. Pegue a raiz quadrada dos dois lados.
Teremos x - 7 é igual a 0. Isso é, podemos dizer x - 7 é igual a 0,
ou x - 7 é igual a 0. Mas seria redundante. Vamos chegar a x - 7 é igual a 0. Acrescente 7 aos dois lados chegaremos a x é igual a 7. Apenas uma solução. Vamos fazer mais um, em rosa: digamos que eu tenha x² - 64 igual a 0. Agora, isso é interessante. Uma campainha pode tocar na sua cabeça sobre como resolver isso. Não há o termo x. Mas podemos pensar como se tivesse um termo x. Podemos reescrever como x² + 0x - 64. Nessa situação, podemos dizer: "Ok! Quais os dois números quando os multiplico obtenho 64 e quando os adiciono obtenho 0?" Quando pego o produto vou chegar
a um número negativo. Certo, isso é "a" vezes "b", é um número negativo. Isso deve significar que eles têm sinais opostos. Significa que têm sinais opostos e quando os acrescento chego a 0. Isso deve significar que "a" + "b", ou melhor, "a" + "-b" é igual a 0. Ou que "a" é igual a "b", que estamos trabalhando com o mesmo número. Na verdade, estamos trabalhando com o mesmo número, opostos um do outro. O que pode ser? Bom, se fizemos com o mesmo número e forem negativos um do outro, 64 é exatamente 8². Mas é - 64. Talvez estejamos
trabalhando com -8 e com o +8. Se acrescentarmos esses dois juntos temos de fato um 0. Então, será x + 8 vezes x - 8. Não temos que sempre passar por esse processo que eu fiz aqui. Já podemos nos lembrar que se tenho "a" + "b" vezes "a" - "b", isso é igual a a² - b². Se a gente vir algo assim a² - b², podemos dizer imediatamente: isso será "a" + "b", "a" é x e "b" é 8 vezes "a" - "b". Vamos fazer mais alguns, apenas problemas gerais. Eu não vou contar quais os tipos que eles terão. Deixa eu mudar de cor, porque está ficando monótono. Digamos que temos x² - 24x + 144 igual a 0. Bom, 144 é, sem dúvida, 12² e -24 que é, sem dúvida, 2 vezes -12, ou simplesmente -12². Então, isso é -12 vezes -12. Isso é -12 + -12. Então, essa expressão
pode ser reescrita como x - 12 vezes x - 12 ou (x - 12)². Vamos ter que ajustar isto é igual a 0. Isso será 0 quando x -12 igual a 0. Podemos dizer que esses serão iguais a 0, mas são a mesma coisa. Acrescente 12 dos dois lados da equação
e chegaremos a x igual a 12. Acabei de perceber, esse problema aqui em cima,
eu fatorei, mas não resolvi a equação. Então, isso precisa ser igual a 0.
Vamos voltar para essa equação aqui. E a única forma de resolver essa equação, e ser 0 é x - 8 igual a 0, ou x + 8 igual a 0. Acrescentamos 8
aos dois lados da equação. Chegamos a x, que pode ser igual a 8. Subtraímos 8 dos dois lados da equação, teremos x, que pode ser também igual a -8. Vamos fazer mais um, só para realmente, entrar na sua cabeça. Vamos lá: digamos que eu tenha 4x² - 25 igual a 0. Já podemos ver
o padrão da diferença de quadrados. Esse é a², esse é b². Temos um padrão de a² - b². Nesse caso, "a" seria igual a 2x. Certo? Isso é 2x² e "b" seria igual a 5. Então, se temos a² - b²,
isso será igual a (a + b) vezes (a - b). Nessa situação, significa que 4x² - 25 será (2x + 5) vezes (2x - 5). E, claro, a equação será igual a 0. Isso será apenas igual a 0, se 2x + 5 for igual a 0, ou 2x - 5 for igual a 0. E podemos resolver cada
um deles. Subtraia 5 dos dois lados, teremos 2x igual a -5, divida os dois lados por 2. Chegaremos a uma solução que é x igual a - 5/2. Aqui acrescente 5 aos dois lados. Teremos 2x igual a 5. Divida os dois lados por 2, teremos x que pode ser também igual a +5/2. Então, os dois satisfazem àquela equação ali.