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Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 9

Lição 6: Método de completar quadrados
Matemática
Álgebra (todo o conteúdo)
Equações e funções do segundo grau
Método de completar quadrados
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Resolução de equações do segundo grau completando o quadrado

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Por exemplo, resolva x²+6x=-2 manipulando-a para que seja (x+3)²=7 e então calculando a raiz quadrada.

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

O que você vai aprender nessa lição

Até agora, você resolveu equações do segundo grau obtendo a raiz quadrada ou por fatoração. Esses métodos são relativamente simples e eficientes, quando aplicáveis. Infelizmente, nem sempre eles podem ser usados.
Nessa lição, você vai aprender um método para resolver qualquer tipo de equação do segundo grau.

Resolução de equações do segundo grau completando o quadrado

Considere a equação x2+6x=−2. Os métodos de obter a raiz quadrada e de fatorar não podem ser aplicados aqui.
Mas não perca as esperanças! Podemos usar o método chamado completar quadrados. Vamos começar com a resolução. Em seguida, vamos revisá-la mais detalhadamente.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=7Some 9, usando o método de completar quadrados.(3)(x+3)2=7Fatore a expressão à esquerda.(4)(x+3)2=±7Calcule a raiz quadrada.(5)x+3=±7(6)x=±7−3Subtraia 3.
Em conclusão, as soluções são x=7−3 e x=−7−3.

O que aconteceu aqui?

Somar 9 a x2+6x na linha (2) teve o feliz resultado de transformar a expressão num quadrado perfeito, que pode ser fatorado como (x+3)2. Isso nos permitiu resolver a equação após obter a raiz quadrada.
É claro que isso não foi nenhuma coincidência. O número 9 foi escolhido cuidadosamente para que a expressão resultante fosse um quadrado perfeito.

Como completar o quadrado

Para entender como escolhemos 9, devemos nos fazer a seguinte pergunta: Se x2+6x é o início de um trinômio quadrado perfeito, qual deve ser o termo constante?
Vamos pressupor que a expressão pode ser fatorada como o trinômio do quadrado perfeito (x+a)2, onde o valor da constante a é ainda desconhecido. Esta expressão é expandida como x2+2ax+a2, o que nos diz duas coisas:
  1. O coeficiente de x, que é 6, deve ser igual a 2a. Isso significa que a=3.
  2. O número constante que precisamos somar é igual a a2, que é 32=9.
Tente completar alguns quadrados por conta própria.
Problema 1
Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com x2+10x ?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2
Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com x2−2x ?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 3
Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com x2+12x ?
  • Sua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como 3/5

Desafio
Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com x2+b⋅x?
Escolha 1 resposta:

Esse desafio nos fornece um atalho para completar o quadrado, principalmente para aqueles que gostam de atalhos e não se importam em memorizar. Ele nos mostra que, a fim de completar a expressão x2+bx e torná-la um quadrado perfeito, em que b é qualquer número, nós precisamos somar (b2)2 à expressão.
Por exemplo, para completar a expressão x2+6x e transformá-la em um quadrado perfeito, somamos (62)2=9 à expressão.

Resolvendo equações mais uma vez

Muito bem! Agora que você é um especialista em completar quadrados, vamos voltar ao processo de resolução de equações usando o nosso método.
Vamos ver um novo exemplo, a equação x2−10x=−12.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=13Some 25, usando o método de completar quadrados.(3)(x−5)2=13Fatore a expressão à esquerda.(4)(x−5)2=±13Calcule a raiz quadrada.(5)x−5=±13(6)x=±13+5Some 5.
Para transformar a expressão original à esquerda x2−10x em um trinômio do quadrado perfeito, somamos 25 na linha (2). Como sempre ocorre com as equações, fizemos o mesmo do lado direito, o que fez com que esse lado aumentasse de −12 para 13.
Em geral, a escolha do número a ser somado para completar o quadrado não depende do lado direito, mas nós devemos sempre somar esse número dos dois lados.
Agora é a sua vez de resolver algumas equações.
Problema 4
Resolva x2−8x=5.
Escolha 1 resposta:

Problema 5
Resolva x2+3x=−14.
Escolha 1 resposta:

Como organizar a equação antes de completar o quadrado

Regra 1: Separe os fatores variáveis do fator constante

É assim que resolvemos a equação x2+5x−6=x+1:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1Subtraia x.(3)x2+4x=7Some 6.(4)x2+4x+4=11Some 4, completando o quadrado.(5)(x+2)2=11Fatore.(6)(x+2)2=±11Tire a raiz quadrada.(7)x+2=±11(8)x=±11−2Subtraia 2.
Completar o quadrado em um dos lados da equação não ajuda se tivermos um termo em x do outro lado. É por isso que subtraímos x na linha (2), colocando todos os termos variáveis do lado esquerdo.
Além do mais, para completar a expressão x2+4x tornando-a um trinômio quadrado perfeito, nós precisamos somar 4, mas antes de fazer isso, precisamos nos certificar de que todos os termos constantes estejam do outro lado da equação. É por isso que nós somamos 6 na linha (3), isolando x2+4x.

Regra 2: Certifique-se de que o coeficiente de x2 seja igual a 1.

Resolvemos a equação 3x2−36x=−42 da seguinte forma:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−14Divida por 3.(3)x2−12x+36=22Some 36, completando o quadrado.(4)(x−6)2=22Fatore.(5)(x−6)2=±22Tire a raiz quadrada.(6)x−6=±22(7)x=±22+6Some 6.
O método de completar quadrados só funciona se o coeficiente de x2 for 1.
É por isso que, na linha (2), dividimos pelo coeficiente de x2, que é 3.
Às vezes, a divisão pelo coeficiente de x2 faz com que outros coeficientes se tornem frações. Isso não significa que você cometeu algum erro, isso significa que você precisa trabalhar com frações para resolver o problema.
Agora é a sua vez de resolver uma equação como essa.
Problema 6
Resolva 4x2+20x−3=0.
Escolha 1 resposta:

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  • Avatar blobby green style do usuário Rony Samuel
    Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Como resolvo a seguinte e...” de Rony Samuel
    Como resolvo a seguinte equação usando o método de completar quadrados?
    a) 2x²+5x+3=0
    b) x²-4x-12=0
    Me ajudem,por favor!
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar starky ultimate style do usuário Levi Jesus
      Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Cara, em resumo, no probl...” de Levi Jesus
      Cara, em resumo, no problema a), você deve primeiro dividir toda a equação por 2, para obter o coef. principal =1.
      A partir disso você completa o quadrado normalmente, não esquecendo de passar para o outro lado a constante 3_ , e quando completar o quadrado, adicionar a constante nova (que será _(5/4)² ) dos dois lados.

      No problema b) você deve subtrair a constante 12 dos dois lados, e logo após, somar a nova constante (que nesse caso, é 2² ) que completa o quadrado dos dois lados também.
      (2 votos)
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