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Álgebra (todo o conteúdo)

Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 9

Lição 6: Método de completar quadrados
Matemática
Álgebra (todo o conteúdo)
Equações e funções do segundo grau
Método de completar quadrados
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Resolução de equações do segundo grau completando o quadrado

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Por exemplo, resolva x²+6x=-2 manipulando-a para que seja (x+3)²=7 e então calculando a raiz quadrada.

Que conceitos você deve conhecer antes de iniciar essa lição

O que você vai aprender nessa lição

Até agora, você resolveu equações do segundo grau obtendo a raiz quadrada ou por fatoração. Esses métodos são relativamente simples e eficientes, quando aplicáveis. Infelizmente, nem sempre eles podem ser usados.
Nessa lição, você vai aprender um método para resolver qualquer tipo de equação do segundo grau.

Resolução de equações do segundo grau completando o quadrado

Considere a equação x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. Os métodos de obter a raiz quadrada e de fatorar não podem ser aplicados aqui.
Mas não perca as esperanças! Podemos usar o método chamado completar quadrados. Vamos começar com a resolução. Em seguida, vamos revisá-la mais detalhadamente.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=7Some 9, usando o meˊtodo de completar quadrados.(3)(x+3)2=7Fatore a expressa˜o aˋ esquerda.(4)(x+3)2=±7Calcule a raiz quadrada.(5)x+3=±7(6)x=±7−3Subtraia 3.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{Some 9, usando o método de completar quadrados.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Fatore a expressão à esquerda.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Calcule a raiz quadrada.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&& x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{Subtraia 3.}\end{aligned}
Em conclusão, as soluções são x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 e x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3.

O que aconteceu aqui?

Somar 9 a x, squared, plus, 6, x na linha start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd teve o feliz resultado de transformar a expressão num quadrado perfeito, que pode ser fatorado como left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared. Isso nos permitiu resolver a equação após obter a raiz quadrada.
É claro que isso não foi nenhuma coincidência. O número 9 foi escolhido cuidadosamente para que a expressão resultante fosse um quadrado perfeito.

Como completar o quadrado

Para entender como escolhemos 9, devemos nos fazer a seguinte pergunta: Se x, squared, plus, 6, x é o início de um trinômio quadrado perfeito, qual deve ser o termo constante?
Vamos pressupor que a expressão pode ser fatorada como o trinômio do quadrado perfeito left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared, onde o valor da constante a é ainda desconhecido. Esta expressão é expandida como x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared, o que nos diz duas coisas:
  1. O coeficiente de x, que é 6, deve ser igual a 2, a. Isso significa que a, equals, 3.
  2. O número constante que precisamos somar é igual a a, squared, que é 3, squared, equals, 9.
Tente completar alguns quadrados por conta própria.
Problema 1
Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com x, squared, plus, 10, x ?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com x, squared, minus, 2, x ?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x ?
  • Sua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5

Desafio
Qual é o termo constante que falta no trinômio do quadrado perfeito que começa com x, squared, plus, b, dot, x?
Escolha 1 resposta:

Esse desafio nos fornece um atalho para completar o quadrado, principalmente para aqueles que gostam de atalhos e não se importam em memorizar. Ele nos mostra que, a fim de completar a expressão x, squared, plus, b, x e torná-la um quadrado perfeito, em que b é qualquer número, nós precisamos somar left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared à expressão.
Por exemplo, para completar a expressão x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x e transformá-la em um quadrado perfeito, somamos left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9 à expressão.

Resolvendo equações mais uma vez

Muito bem! Agora que você é um especialista em completar quadrados, vamos voltar ao processo de resolução de equações usando o nosso método.
Vamos ver um novo exemplo, a equação x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=13Some 25, usando o meˊtodo de completar quadrados.(3)(x−5)2=13Fatore a expressa˜o aˋ esquerda.(4)(x−5)2=±13Calcule a raiz quadrada.(5)x−5=±13(6)x=±13+5Some 5.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{Some 25, usando o método de completar quadrados.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Fatore a expressão à esquerda.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Calcule a raiz quadrada.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&& x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{Some 5.}\end{aligned}
Para transformar a expressão original à esquerda x, squared, minus, 10, x em um trinômio do quadrado perfeito, somamos 25 na linha start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd. Como sempre ocorre com as equações, fizemos o mesmo do lado direito, o que fez com que esse lado aumentasse de minus, 12 para 13.
Em geral, a escolha do número a ser somado para completar o quadrado não depende do lado direito, mas nós devemos sempre somar esse número dos dois lados.
Agora é a sua vez de resolver algumas equações.
Problema 4
Resolva x, squared, minus, 8, x, equals, 5.
Escolha 1 resposta:

Problema 5
Resolva x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.
Escolha 1 resposta:

Como organizar a equação antes de completar o quadrado

Regra 1: Separe os fatores variáveis do fator constante

É assim que resolvemos a equação x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1Subtraia x.(3)x2+4x=7Some 6.(4)x2+4x+4=11Some 4, completando o quadrado.(5)(x+2)2=11Fatore.(6)(x+2)2=±11Tire a raiz quadrada.(7)x+2=±11(8)x=±11−2Subtraia 2.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{Subtraia }x.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{Some 6.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{Some 4, completando o quadrado.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Fatore.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Tire a raiz quadrada.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&& x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{Subtraia 2.}\end{aligned}
Completar o quadrado em um dos lados da equação não ajuda se tivermos um termo em x do outro lado. É por isso que subtraímos x na linha start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995, colocando todos os termos variáveis do lado esquerdo.
Além do mais, para completar a expressão x, squared, plus, 4, x tornando-a um trinômio quadrado perfeito, nós precisamos somar 4, mas antes de fazer isso, precisamos nos certificar de que todos os termos constantes estejam do outro lado da equação. É por isso que nós somamos 6 na linha start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff, isolando x, squared, plus, 4, x.

Regra 2: Certifique-se de que o coeficiente de x, squared seja igual a 1.

Resolvemos a equação 3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42 da seguinte forma:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−14Divida por 3.(3)x2−12x+36=22Some 36, completando o quadrado.(4)(x−6)2=22Fatore.(5)(x−6)2=±22Tire a raiz quadrada.(6)x−6=±22(7)x=±22+6Some 6.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{Divida por 3.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{Some 36, completando o quadrado.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Fatore.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Tire a raiz quadrada.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&& x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{Some 6.}\end{aligned}
O método de completar quadrados só funciona se o coeficiente de x, squared for 1.
É por isso que, na linha start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c, dividimos pelo coeficiente de x, squared, que é 3.
Às vezes, a divisão pelo coeficiente de x, squared faz com que outros coeficientes se tornem frações. Isso não significa que você cometeu algum erro, isso significa que você precisa trabalhar com frações para resolver o problema.
Agora é a sua vez de resolver uma equação como essa.
Problema 6
Resolva 4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0.
Escolha 1 resposta:

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  • Avatar blobby green style do usuário Rony Samuel
    Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Como resolvo a seguinte e...” de Rony Samuel
    Como resolvo a seguinte equação usando o método de completar quadrados?
    a) 2x²+5x+3=0
    b) x²-4x-12=0
    Me ajudem,por favor!
    (1 voto)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar starky ultimate style do usuário Levi Jesus
      Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Cara, em resumo, no probl...” de Levi Jesus
      Cara, em resumo, no problema a), você deve primeiro dividir toda a equação por 2, para obter o coef. principal =1.
      A partir disso você completa o quadrado normalmente, não esquecendo de passar para o outro lado a constante 3_ , e quando completar o quadrado, adicionar a constante nova (que será _(5/4)² ) dos dois lados.

      No problema b) você deve subtrair a constante 12 dos dois lados, e logo após, somar a nova constante (que nesse caso, é 2² ) que completa o quadrado dos dois lados também.
      (2 votos)
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