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Conteúdo principal

Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo, vou mostrar uma técnica chamada completando o quadrado. Completando o quadrado. O legal é que ela funciona com qualquer equação do segundo grau e na verdade é a base da fórmula de Bhaskara. Num vídeo posterior eu vou provar a fórmula de Bhaskara usando essa mesma técnica, mas antes disso precisamos entender do que se trata. É uma complementação do que vimos no último vídeo que a gente solucionou equações de segundo grau usando quadrados perfeitos. Digamos que eu tenha a equação x ao quadrado - 4 x é igual a 5. Inclui esse espaço aqui por um motivo. A gente viu que pode ser simples calcular isso se o lado esquerdo for um quadrado perfeito. Completar o quadrado significa transformar a equação de segundo grau em um quadrado perfeito, somando e subtraindo dos dois lados para ela se tornar um quadrado perfeito. Como fazemos isso? Para que o lado esquerdo se torne um quadrado perfeito, tem que ter algum número aqui. Tem que ter um número que elevado ao quadrado dá esse número, e que multiplicado por 2 dá -4. Acho que vai ficar claro com alguns exemplos. Eu quero que "x² - 4x" mais alguma coisa seja igual a "x - a²". Ainda não sabemos o valor de "a", mas sabemos algumas coisas. Isto vai ser "x² - 2a + a²". Então, esse padrão aqui, isto tem que ser. É perdão. "x² - 2ax". Isso aqui tem que ser "2ax", e isso aqui teria que ser "a²". O "a" vai ser metade de -4. O "a" tem que ser -2, certo. Porque "2 × a" vai ser -4. "a" é -2. E se "a" é -2, quanto é "a²"? "a²" vai ser 4. Pode parecer complicado, mas eu estou mostrando a lógica. Basta olhar este coeficiente e se perguntar qual é a metade do coeficiente? Metade deste coeficiente é -2. Então, dá pra falar que "a = -2". A mesma ideia ali. Depois, você eleva ao quadrado e "a² = 4". Adicionamos 4 aqui. Mais um 4. Agora, desde a primeira equação que fizemos, você sabe que não pode fazer algo apenas de um lado da equação. Não podemos somar "4a" em um só lado da equação. Se "x² - 4x" fosse igual a 5, quando somou 4, não vai ser mais igual a 5. Vai ser igual a 5 + 4. Somamos 4 ao lado esquerdo porque queremos que isto seja um quadrado perfeito. Mas se soma algo ao lado esquerdo, tem que somar ao direito. Então chegamos a um problema igual aos problemas do vídeo anterior. O que tem do lado esquerdo? Vou reescrever tudo. Tem "x² - 4x + 4 = 9" Só somamos 4 aos dois lados da equação, mas somamos de propósito para que o lado esquerdo se tornasse um quadrado perfeito. Que número multiplicado por si mesmo é igual a 4 e quando somo a si mesmo é igual ao -2? Já sabemos a resposta, é -2. Ficamos com (x - 2) × (x - 2) = 9. Ou, poderia ter pulado esse passo escrito (x - 2)² = 9. E com a raiz quadrada dos dois lados, ficamos com "x - 2 = ± 3". Somando 2 aos dois lados, ficamos com "x = 2 ± 3". Isso nos diz que "x" pode ser igual a 2 + 3 = 5. Ou "x" pode ser igual a 2 - 3 = -1. E terminamos. Eu quero deixar bem claro. Dava para ter solucionado sem completar o quadrado. A gente podia ter começado com "x² - 4x = 5" Podia ter subtraído 5 dos dois lados e ficado com "x² - 4x - 5 = 0" Daí diríamos que se tenho -5 × 1, o produto é -5, e a soma é -4. Isto é, (x - 5) × (x + 1) = 0. E, diria que "x = 5" ou "x = - 1". Neste caso, talvez fosse uma forma mais rápida de solucionar o problema, mas o legal da técnica de completar o quadrado é que ela sempre funciona. Sempre funciona independentemente dos coeficientes ou da dificuldade do problema. E vou provar. Vamos fazer um que seria bem complicado se tentasse resolver com fatoração, principalmente se fosse para agrupar. Temos "10x²". "10x² - 30x - 8 = 0. Logo de cara você pode pensar em dividir os dois lados por 2, isso vai simplificar. Vamos dividir os dois lados por 2,. Dividindo tudo por dois, fica com o quê? Fica com "5x² - 15x - 4 = 0". Mas fica com esses 5 maluco na frente do coeficiente. Teria que fazer por agrupamento, que é um processo doloroso. Mas podemos começar a completar o quadrado e para fazer isso, eu vou dividir por 5 para obter o 1 como coeficiente líder e veremos porque isso é diferente do que costumamos fazer. Se eu dividir tudo por 5. Poderia ter dividido logo por 10, mas eu quis dar esse passo primeiro para mostrar que não estaria muito. Vamos dividir tudo por 5. Se dividir tudo por 5, ficamos com "x² - 3x - 4/5 = 0". E você se pergunta, por que usar a fatoração por agrupamento, se a gente pode dividir pelo coeficiente líder, não precisa daquilo. Pode transformar isso em 1 ou - 1 se dividir pelo número certo, mas repare que ficamos com esse 4/5 malucos. Então, é bem difícil de fazer só usando fatoração. A gente teria que calcular quais números, tirando o produto são iguais a -4/5. É uma fração e a soma dela tem que ser igual ao -3. É um problema difícil com fatoração. É difícil de solucionar usando a fatoração. A faturação. A melhor opção é completar o quadrado. Vamos pensar em como podemos transformar em um quadrado perfeito. Tem duas formas de fazer. Vou mostrar as duas porque os professores usam as duas. Eu gosto de levar o 4/5 para o outro lado. Vamos somar 4/5 aos dois lados da equação. Não precisa fazer assim, mas eu quero tirar os 4/5 do caminho. E, o que acontece se somar 4/5 aos dois lados da equação? O lado esquerdo vira "x² - 3x". Nada de 4/5. Vou deixar um espaço aqui. E isto vai ser igual a 4/5. Como no último problema, quero transformar o lado esquerdo no quadrado perfeito de um binômio. Como fazemos isso? Bom, qual número vezes 2 é igual a -3? Algum número vezes 2 dá -3. Pegamos -3 e dividimos por 2, o que dá -3/2. Depois elevamos -3/2 ao quadrado. No exemplo a gente fala que "a" é -3/2. Se elevar -3/2², dá o quê? Dá 9/4. Peguei metade do coeficiente, elevei ao quadrado e deu 9/4. O objetivo disso é transformar o lado esquerdo em um quadrado perfeito. O que fizer de um lado, tem que fazer do outro. Somamos o 9/4. Vamos somar aqui também. Como ficou nossa equação? Fica com "x² - 3x + 9/4" é igual a, Vejamos se tem um denominador comum. 4/5 é o mesmo que 16/20. Multiplico o numerador e o denominador por 4 mais sobre 20. 9/4 é igual a se multiplicar o numerador por 5. 45/20. Quanto dá 16 + 45? Está ficando complicado, mas é isso que é legal em completar os quadrados. 16 + 45 55, 61. Isso é igual a 61/20. Vou reescrever. "x² - 3x + 9/4 = 61/20" Que número maluco. Aqui pelo menos do lado esquerdo é um quadrado perfeito. É igual a (x - 3/2)². E deu certinho. (-3/2) × (-3/2) = 9/4. (-3/2) + (-3/2) = -3, isto ao quadrado é igual a 61/20. Dá pra tirar a raiz quadrada dos dois lados e ficaremos com x - 3/2 é igual à raiz esquadra positiva ou negativa de 61/20. Agora podemos somar. 3/2 aos dois lados da equação e ficamos com x = 3/2 ±√⁶¹/²⁰. Esse é um número maluco e não teria chegado nele apenas através da fatoração. Se quiser saber os valores, use a calculadora. Vou zerar isto aqui. Saiu daqui e zero isso aqui. Saiu daqui e zero aqui. Vamos fazer a versão positiva primeiro. 3 ÷ 2 mais a segunda raiz quadrada, a amarela, a raiz quadrada de 61 ÷ 20 que é 3,24. Esse 3,2464 maluco. Vou escrever 3,246, isto é igual a aproximadamente 3,246. E esta é a versão positiva. Vamos fazer a versão da subtração. Se apertar second e depois enter, ele repete o que digitamos e então dá pra mudar o sinal de adição para o de subtração. E o resultado é -0,246. O resultado é -0,246. Você pode verificar que satisfaz a nossa equação original. A equação original estava aqui. Vou verificar uma delas. A segunda resposta na calculadora é a última resposta que você usa. Se usa a variável resposta é esse número aqui. Se tenho a minha resposta ao quadrado, resposta representa -0,24. Resposta ao quadrado -3 vezes. Resposta - 4/5 4 ÷ 5 é igual. Só para explicar, ela não guarda um número inteiro, vai até um certo nível de precisão. Guarda um certo número de dígitos. Quando calcula usando o número guardado aqui, chega a 1 × 10⁻¹⁴. Então, isso é 0,0000 São 13 zeros e depois o 1. Uma vírgula decimal. 13 zeros e um 1. Ou seja, é 0. Se quiser a resposta exata no grau infinito de precisão ou se mantiver na forma radical, veria que realmente é igual a 0. Espero que tenha achado útil essa técnica de completar o quadrado. Agora vamos estendê-la a fórmula de Bhaskara para daí usar na solução de qualquer equação de segundo grau. Fui.