Exemplo resolvido: reescrita e solução de equações pelo método de completar quadrados

RKA - Vamos pegar a equação de segundo grau do tipo x ao quadrado -2x -8, igual a 0, e resolver ela produto notável da seguinte forma. Vamos colocar x mais "a" ao quadrado, mais "b", igual a zero e adequar esses termos a essa expressão. Adequando esses termos a essa expressão, fica fácil resolver a equação, por quê? Porque nós temos um tempo que elevado ao quadrado e depois que tirarmos a raiz quadrada, vamos ter uma equação simples do primeiro grau. Bem, se você abrir esse parênteses, você vai ter o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo e vamos repetir o "b". Muito bem. Já dá para gente comparar essa expressão a essa aqui. Nós temos x² aqui. Nós temos o x² aqui. O termo que está multiplicando x é o nosso 2a, não tem nenhum outro termo multiplicando x. Portanto, eu posso presumir que 2a = -2. Ou seja, que a = -1. Essa expressão é importante porque nós podemos substituir na nossa equação x + a², no lugar de "a", eu colocar x -1, que é o valor de a² e repetir aqui o "b", igual a 0. Muito bem! Quando eu abrir esse parênteses, eu vou ter o quadrado do primeiro, menos 2 vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo, mais "b" igual a zero. Vemos que esse termo é igual a esse termo aqui. Eu peguei e abri os parênteses, simplesmente. Muito bem. Mas nós temos um termo aqui, que é muito parecido com esse, só que quando eu boto (x - 1)², quando eu abro o parênteses, aparece o +1. Para que eu iguale esse termo a esse aqui, eu tenho que fazer da seguinte forma, eu boto (x - 1)², que é x² - 2 x + 1, e subtraiu 1. Subtraído o 1, quando eu abrir esse parênteses, vai ficar x² - 2 x + 1 - 1. +1 - 1 dá 0, e eu tenho o termo que nós temos aqui em cima. E repito todo o resto, ou seja, você vai ter -8 = 0. E isso é interessante porque agora nós já resolvemos nessa equação de segundo grau. Por quê? Porque você vai ter (x - 1)², -1 menos 8 dá - 9 igual a 0. e você vai ter, (x - 1)² = 9. Quando você tem um termo elevado ao quadrado, ele pode ser positivo, que vai dar um número positivo, ou ele pode ser negativo, que também vai dar um número positivo. Ou seja, aqui você tem duas soluções. Você tem a solução (x - 1) = 3, porque 3² = 9, e você tem outra solução que é ( x - 1) = -3, porque (-3), entre parentes, elevado ao quadrado é 9. Portanto, você tem a solução x = 4 ou, x = -2. Você poderia estar se perguntando: por que a gente não resolve por Bhaskara? Por que a gente resolve dizendo que esse termo é o produto das raízes e esse termo é menos a soma das raízes? Realmente é. Se você multiplicar 4 vezes (-2) dá -8. Se você somar 4 + (-2) dá 2 que é o oposto de -2. Está correto também. A importância de você verificar essa forma de solução é a visualização em algumas equações para que você possa fatorar e colocar os termos em evidência, de tal forma que possa solucionar as equações de maneira mais fácil. Uma curiosidade, Bhaskara, ou pelo menos a fama fico com ele, utilizou esse artifício para chegar na famosa fórmula de Bhaskara que você tanto conhece. Então, espero que você tenha gostado desse tipo de solução.