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Revisão do discriminante

O discriminante é a parte da fórmula de Bhaskara sob o símbolo da raiz quadrada: b²-4ac. O discriminante nos diz se há duas soluções, uma solução, ou nenhuma solução.

Revisão relâmpago da fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara determina que

x, equals, start fraction, minus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, end color #e07d10, squared, minus, 4, start color #7854ab, a, end color #7854ab, start color #e84d39, c, end color #e84d39, end square root, divided by, 2, start color #7854ab, a, end color #7854ab, end fraction

para toda equação do segundo grau como:

start color #7854ab, a, end color #7854ab, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, 0

O que é discriminante?

O start color #e07d10, start text, d, i, s, c, r, i, m, i, n, a, n, t, e, end text, end color #e07d10 é a parte da fórmula de Bhaskara sob a raiz quadrada.

x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, squared, minus, 4, a, c, end color #e07d10, end square root, divided by, 2, a, end fraction

O discriminante pode ser positivo, igual a zero, ou negativo, e isso determina quantas soluções há para a equação do segundo grau dada.

Um discriminante positivo indica que a equação do segundo grau tem duas soluções de números reais diferentes.
Um discriminante igual a zero indica que a equação do segundo grau tem uma solução de número real repetido.
Um discriminante negativo indica que nenhuma das soluções é composta por números reais.

Quer entender essas regras em um nível mais detalhado? Confira este vídeo.

Exemplo

Temos uma equação do segundo grau e precisamos saber quantas soluções ela tem:

6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, equals, 0

A partir da equação, vemos que:

a, equals, 6
b, equals, 10
c, equals, minus, 1

Inserindo esses valores no discriminante, obtemos:

\begin{aligned} &b^2-4ac\\\\ =&10^2-4(6)(-1)\\\\ =&100+24\\\\ =&124 \end{aligned}

Este é um número positivo, então a equação do segundo grau tem duas soluções.

Isso faz sentido se pensarmos no gráfico correspondente de y, equals, 6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1:

Observe como ele cruza o eixo x em dois pontos. Em outras palavras, há duas soluções com um valor de y igual a 0, então deve haver duas soluções para nossa equação original: 6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, equals, 0.