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RKA - Determine o número de soluções da equação quadrática: x ao quadrado mais 14x mais 49 igual a zero Existem inúmeras formas de fazer isso. Poderemos fatorá-la e encontrar os valores de x que a satisfazem e contá-los, esse seria o número das soluções. Poderíamos apenas aplicar a fórmula quadrática, mas o que eu quero fazer aqui é, na verdade, explorar a fórmula quadrática e pensar sobre como podemos determinar o número de soluções sem, necessariamente, calculá-los explicitamente. A fórmula quadrática nos diz que: se tivermos uma equação da forma ax ao quadrado mais bx mais c igual a zero, que as soluções serão ou a solução, se existir, será menos b, mais ou menos a raiz quadrada de b ao quadrado - 4ac, tudo sobre 2a. Agora a razão pela qual isso pode ser duas soluções é que temos um mais ou menos aqui. Se esse b ao quadrado - 4ac é um número positivo, então vamos pensar sobre isso um pouco. Se b ao quadrado menos 4ac é maior que zero, o que irá acontecer? Bom, então é um número positivo, vai ter uma raiz quadrada. Quando você adiciona ao menos b, vai obter um valor para o numerador e quando subtrai do menos b, você vai obter um outro valor no numerador. Portanto, isso irá levar as duas soluções. Duas soluções. O que acontece se b ao quadrado menos 4ac é igual a zero? Essa expressão, sobre o radical é igual a zero, você só vai ter a raiz quadrada de zero. Então será menos b mais ou menos zero, e não importa se adiciona ou subtrai zero, vai obter o mesmo valor. Nessa situação, a solução verdadeira da equação vai ser: menos b sobre 2a. Esse mais ou menos não será relevante. Você vai ter uma solução. Se b ao quadrado menos 4ac é igual a zero, você tem apenas uma solução. Para terminar, e se b ao quadrado - 4ac é menor que 0? Se esse b ao quadrado - 4ac é menor que zero, esse será um número negativo. Bem aqui você terá que pegar a raiz quadrada de um número negativo, e sabemos, por lidar com números reais, que não se pode obter a raiz quadrada de um número negativo. Não há número real cujo quadrado se torne um número negativo. Nessa situação, não há soluções ou não há soluções reais. Quando eu digo real, quero dizer literalmente um número real, não há solução real. Então, vamos dividi-lo no contexto dessa equação bem aqui. E, no caso de estar curioso, se essa expressão b ao quadrado menos 4ac tem um nome, ela tem: é chamada de discriminante. Discriminante. Essa é discriminante, essa é uma parte da equação quadrática, ela determina o número de soluções que temos. Se queremos descobrir o número de soluções para essa equação, não temos que passar por toda a equação quadrática, apesar de não ser tanto trabalho assim. Agora, temos apenas que avaliar b ao quadrado menos 4ac, quanto é b ao quadrado menos 4ac? b está bem aqui, é 14. É 14 ao quadrado menos 4 vezes a, que é 1, vezes c, que é 49. Aquele c bem aqui, vezes 49. Quanto é 14 vezes 14? Deixa eu fazer isso aqui: 14 vezes 14, 4 vezes 4 é igual a 16, 4 vezes 1 é igual a 4, mais 1 é igual a 56, põe um zero, 1 vez 14, 14. É 6, 9, 1, é 196. Esse, bem aqui, é 196. E podemos ignorar o 1. Quanto é quatro vezes 49? 49 vezes 4, 4 vezes 9, 36, 4 vezes 4 é igual a 16, mais 3, igual a 190, ou é 19. Então você obtém 196. Esse bem aqui é 196. b ao quadrado - 4ac igual a 196 menos 196. 196 menos 196 é igual a zero. Estamos lidando com uma situação na qual o discriminante é igual a zero, temos apenas uma solução. Se quiser, poderia tentar achar essa solução. Toda essa parte será a raiz quadrada de zero e será apenas zero, então a solução será: menos b sobre 2a. Menos b é, poderemos apenas resolver - b igual a -14 sobre 2 vezes a, a é só 1 sobre dois, então é igual a -7. Essa é a única solução para essa equação, mas como eu queria saber quantas soluções havia, teve que descobrir que b ao quadrado menos 4ac é igual a zero, então vai ter uma solução. Tem outras formas, poderia fatorar isso bem facilmente para x mais 7 vezes x mais 7 e obter o mesmo resultado.