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Sistemas de equações do segundo grau: ambas as variáveis estão elevadas ao quadrado

Transcrição de vídeo

RKA - Quais são as soluções para o sistema de equações "y = (1/2)x" e "2x² - y² = 7"? E dizem "soluções" porque essas duas, se a gente vê como uma reta e uma curva, elas podem facilmente ter duas intersecções. Vamos ver o que acontece aqui. Temos "y = (1/2)x" e "2x² - y² = 7. A melhor forma de abordar isso é tentar substituir uma condição na outra, ou substituir uma equação na outra. Parece ser mais fácil substituir "(1/2)x" para "y" nesta equação, porque já temos o valor de "y" em função de "x" aqui. Na outra equação é muito mais difícil isolar "x" ou "y", então vamos lá. Sempre que virmos um "y" aqui vamos substituir por isto: "y" deve também ser igual a "1/2x". E vejamos se a gente consegue encontrar o valor de "x". Nesta equação temos "2x² - y²", mas agora dizemos que "y" também é igual a 1/2 vezes "x". E isso será igual a 7. Vejamos se conseguimos encontrar o valor de "x" com um pouco de manipulação algébrica. Temos "2x²" menos... (1/2)² é 1/4. Então "x²", poderemos dizer "x²/4". Mas deixa eu escrever como 1/4. Vamos dizer que é 1/4 vezes "x²" é igual a 7. Temos "2x²" e subtraio "1/4x²". Terei, então, "1¾" vezes "x²", ou pode ver isso como "8/4 - 1/4", que é "7/4x² = 7". Multiplicamos os dois lados pelo inverso de 7/4, que é igual a 4/7. Multiplicamos os dois lados por 4/7. Obtemos "x² = 4". Portanto, "x" pode ser "-2" ou "+2". É a raiz quadrada positiva e negativa de 4. Então "x" é igual a mais ou menos a raiz quadrada de 4: "x" é igual a "±2" ("+2" ou "-2"). Agora, dado que "x" é "+2" ou "-2", vamos substituir em qualquer uma dessas equações para descobrirmos qual o valor de "y", o "y" correspondente para cada um desses dois valores de "x" que já encontramos. Temos o ponto, ou o par ordenado, (2, 1). O que eu fiz foi dizer: "olha, 'x' é 2, certo? 1/2 vezes 2 é igual a 1. Se 'x' for '-2', então 'y' será 1/2 vezes '-2', que será -1". E você pode... as duas, certamente, satisfazem a primeira condição, e você pode verificar que também satisfazem essa segunda condição aqui. 2 vezes 2² é... bom, 2² é 4; 2 vezes 4 é 8, menos 1² é igual a 7. 2 vezes "-2²" ainda é... tudo isso será "8 - 1²", ainda é igual a 7. Portanto as soluções para o sistema de equações: uma é a coordenada... será (2, 1), "x" é 2 e "y" é 1; e a outra coordenada (-2, -1), "x" é "-2" e "y" é "-1".