Gráficos de funções de raiz quadrada

RKA - Eu acredito que você já saiba bastante sobre a ideia da raiz quadrada, mas eu gostaria de esclarecer algo sobre a notação. Quando nós falamos do número 9 sob o radical (o símbolo de radical), nós estamos falando da raiz quadrada de 9. Na matemática, pensando em números reais, a raiz quadrada de 9 é o número positivo que multiplicado por ele mesmo, ou elevado ao quadrado, resulta em 9. Então, a raiz quadrada de 9 é simplesmente 3, pois 3² resulta em 9 e 3 é um número positivo. Na verdade, não negativo porque o zero também pode fazer parte da raiz quadrada. Em alguns países, existe uma notação um pouco diferenciada: tratando-se da principal raiz quadrada como valor positivo e dizendo que o valor negativo, por exemplo o -3, também seja a raiz quadrada. Pela questão de termos um resultado único, então, define-se como o número não negativo que satisfaz essa condição. Veja, é diferente de quando você analisa a seguinte situação: "x² = 9", pensando que "x" pode ser um número real. Nós estamos perguntando: qual é o número que elevado ao quadrado resulta em 9? Então, a resposta pode ser o "x = 3" (porque 3² dá 9) ou o "x = -3" (porque o número negativo 3² também dá 9). Entretanto, nós não estamos falando aqui da definição da raiz quadrada. Ok? São duas coisas relacionadas, porém têm as suas diferenças. Neste caso, nós estaríamos falando, para obter o valor do "x", que o "x" seria igual a mais ou menos a raiz quadrada de 9; ou seja, a raiz quadrada de 9 com o sinal positivo seria 3 ou a raiz quadrada de 9, que é 3 com sinal negativo, -3 (este "menos" não faz parte da raiz quadrada). Neste momento, o que nos interessa é o gráfico de "y" igual à raiz quadrada de "x". Como será que o gráfico disso aqui se comporta, e como ele se relaciona com gráfico de "y = x²". Se houver tempo, também vamos deslocar um pouco os gráficos dessas funções e ver o que acontece ao movê-las para cima ou para baixo, para a esquerda ou para a direita. Vamos fazer uma tabela de valores antes de gerar o gráfico numa calculadora gráfica. Vamos colocar aqui, então, valores de "x" e valores de "y" pensando que "y" é "x²". Do mesmo modo, para "y" igual a raiz de "x": valores de "x" e correspondentes valores de "y". Vamos colocar alguns valores para "x" e obter o correspondente "y", por exemplo, se o "x" for zero, o "y" é 0², que dá zero. Se o "x" for 1, o "y" vai ser 1², que dá 1. Se o "x" for 2, o "y", 2²; dá 4. Se "x" for 3, o "y", 3²; dá 9. Se o "x" for 4, então, o "y", 4²; 16. Esses são os pontos. Fazer o gráfico dessa função (que é bem conhecido) vai gerar uma parábola. Vamos fazer da mesma maneira para "y" igual à raiz quadrada de "x". Se o "x" for zero, a raiz quadrada de zero é zero. Se o "x" for 1, a raiz quadrada de 1 é 1. Eu poderia colocar valores quaisquer aqui, mas vou usar os quadrados perfeitos para facilitar. Se o "x" for 4, a raiz quadrada de 4, 2. Se o "x" for 9, a raiz quadrada de 9, 3. Se o "x" for 16, a raiz quadrada de 16 é 4. E, assim, poderíamos preencher uma tabela. Agora, nós vamos analisar o gráfico dessas duas funções e ver como que elas se relacionam. Você pode notar, claramente, que estas tabelas se relacionam simplesmente alternando o "x" e o "y" de uma com outra. Aqui, zero para o "x", zero para o "y"; aqui, também. 1 para o "x", 1 para o "y"; aqui, também. Agora, aqui, 2 para o "x", 4 para o "y"; aqui, 4 para o "x", 2 para o "y". Aqui, 3 para o "x", 9 para o "y"; aqui, 3 para o "y", 9 para o "x". (4, 16); (16, 4). Os pontos desta e os pontos desta se relacionam invertendo a ordem da abscissa e da ordenada. Essa ideia faz sentido e você pode comprovar se elevar os dois lados desta expressão ao quadrado. Elevando aqui e aqui ao quadrado, nós teríamos aqui "y²" igual... aqui a raiz quadrada elevada ao quadrado cancela, desde que "x" seja não negativo, então "y² = x". Bem, se você observar aqui o que nós temos é justamente a troca dos valores de "x" e "y" na outra equação. Tem que ficar claro para você que esta ideia só vale considerando que "x" e "y" são números não negativos, ou seja, zero ou, então, números positivos. Vamos fazer o gráfico das duas funções, à mão mesmo inicialmente, antes de usar uma calculadora gráfica. Eu preparei aqui os eixos, o primeiro quadrante, à mão, sem muita precisão, para nós podermos analisar aqui o que acontece com esses gráficos. Aqui, valores de "x"; aqui, valores de "y". Vamos começar aqui por "y = x²". Ponto (0,0). Depois, temos o ponto (1,1), 1 para o "x" e 1 para o "y"; o ponto está aqui. (2, 4) estaria aqui. Depois o (3, 9)... nove... um, dois, três... está aqui... (3, 9) seria algo por aqui. E fizemos também o (4, 16). Aqui temos... e o (4, 16), então, estaria, razoavelmente, aqui. O gráfico disso aqui é uma parábola. Vamos, então, tentar traçar à mão a parábola aqui (uma ideia da parábola). Nós sabemos que é algo aproximado, claro. Agora, vamos fazer, então, o gráfico de "y" é igual à raiz quadrada de "x". Esse aqui é "y = x²"; agora, vamos fazer o outro que é "y" é igual à raiz de "x", raiz quadrada de "x", que é o que temos na segunda tabela . Então, vamos começar lá. Ponto (0, 0) já estava marcado aqui, vou marcar por cima. Ponto (1, 1) também é o mesmo. Agora, ponto (4, 2)... (4, 2) vai estar aqui. Depois, o (9, 3)... 9 está aqui... (9, 3) seria algo aqui. E (16, 4)... 16 está aqui... 4... aqui talvez. Muito bem! À mão, de novo, vamos tentar ter uma ideia desta curva. Traçando a curva à mão, ela vai se formando ali pelos pontos marcados. Esta aqui, então, é o "y" igual à raiz quadrada de "x". Examinando as curvas podemos ver aqui que parece que elas estão trocadas em relação ao eixo, ou rotacionadas. E, de fato, faz todo o sentido. Esta curva "y = x²" e esta curva "y" é igual à raiz quadrada de "x" têm exatamente aqui as abscissas e ordenadas trocadas uma em relação à outra; considerando, naturalmente, o primeiro quadrante. De fato, essas curvas são simétricas em relação à reta definida pela expressão "y = x". Essa reta serve como eixo de simetria para esta em relação a esta. Nós vamos estudar isso um pouco melhor num breve futuro. E vamos, agora, examinar numa calculadora gráfica como isso tudo se comporta. Eu encontrei uma calculadora gráfica na internet nesse endereço que você tem aqui. Você pode pausar o vídeo e utilizá-lo para acompanhar o nosso estudo. Com essa calculadora, o gráfico vai ficar mais claro do que o que foi feito à mão. Vamos na linha vermelha fazer o gráfico de "y = x²". E a verde será o gráfico da raiz quadrada de "x". Vamos clicar aqui, e nós temos, então, os dois gráficos. Se você focar no primeiro quadrante, você vai enxergar aqui exatamente as duas curvas que eu tentei fazer à mão. Aqui estão elas. Claro, no gráfico da calculadora fica tudo muito mais claro de se ver. Vamos, agora, fazer algumas modificações nas funções para ver o que acontece. Vamos manter o foco primeiro em "y = x²". Nós vamos deformar, modificar a abertura da parábola multiplicando "x²" por um número. Por exemplo, o que aconteceria com "y = (2)‧x²"? O que vai acontecer com "(0,5)‧x²"? Vamos fazer os gráficos. E você vê aqui as curvas que representam essas funções. A curva vermelha representa "y = x²"; a curva verde representa "y = (2)‧x²"; e a azul, "(0,5)‧x²". Veja que o número que multiplica "x²" faz com que a parábola fique mais aberta ou mais fechada. Multiplicar por "0,5" faz com que a parábola fique mais larga, mais aberta (o gráfico fique mais largo), enquanto multiplicar por 2 a deixa um pouco mais estreita. Perceba que multiplicar por "0,5" é multiplicar por um número menor do que 1; isso que faz com que a parábola "se abra" (entre aspas), fique mais larga. E multiplicar por 2 é multiplicar por um número maior que 1, então, a parábola fica mais estreita. Vamos, agora, pensar em deslocar o gráfico de "x²". Vamos deixar ali "y = x²", e vamos fazer, agora, o gráfico se deslocar 4 unidades para a direita. Para isso, em vez de "x", eu vou usar "x - 4". Então, eu teria aqui "x - 4" no lugar do "x". Então, elevado ao quadrado, ok? Aqui vamos fazer outra translação; vamos deslocar o gráfico 2 unidades para a esquerda. Para deslocar 2 unidades para a esquerda, eu troco o "x" por "x + 2"; então, em vez de "x²" é "(x + 2)²". Fazendo o gráfico, temos exatamente aquilo que era previsto. "x²" é o vermelho. Em verde, o "(x - 4)²". Veja o vértice aqui deslocado 4 unidades para a direita. E a azul deslocada 2 unidades para a esquerda. Para verificar, note que, se o "x" é 4 aqui no vértice da parábola verde, colocando 4 no lugar do "x", você tem "4 - 4"... 0². O mesmo que acontece no vértice da parábola vermelha, 0². E, se o "x - 2", aqui na azul... "-2 + 2"... 0²... 0. Estamos falando do mesmo resultado para o "y". Veja também que, quando "x" é 1 nesta parábola, equivale ao "x" ser 5 na parábola verde. 5, põe aqui... "5 - 4" dá 1, que era o 1 que tinha na vermelha. A mesma coisa aqui. Se o "x" for 1 aqui, equivale ao "x" ser -1 aqui. Veja: "-1 + 2" dá 1²... 1 que era a mesma coisa que tinha quando nós pegávamos aqui. Em resumo, você pode perceber que, nos parênteses subtrair 4, o gráfico é deslocado à direita 4 unidades; enquanto, nos parênteses adicionar 2, adicionando, o gráfico vai para a esquerda. Vamos olhar para outra coisa interessante que é deslocar o gráfico para cima e para baixo. Se eu quiser deslocar o gráfico dessa "y = x²" 1 unidade para cima, basta adicionar 1 à função. Veja só a linha vermelha foi deslocada 1 unidade para cima. Se eu quiser, por exemplo, deslocar 5 unidades para baixo esta outra, que é a linha verde, veja só, é só colocar o -5, desloca 5 unidades para baixo. Eu poderia, por exemplo, fazer com que a abertura ficasse mais larga, ou seja, com que ela varie mais lentamente; bastaria multiplicar isso, por exemplo, por "0,5". E, aí, nós teremos aqui a linha verde, veja, mais aberta. A mesma ideia pode ser usada com o gráfico das raízes quadradas. Vamos examinar. Aqui, então, vamos colocar "y" é igual à raiz quadrada de "x". Aqui, vamos colocar "y" é igual à raiz quadrada de "x - 5". Veja: -5 faz deslocar 5 unidades para a direta. E, aqui, vamos fazer a raiz quadrada de "x" deslocada 4 unidades para a esquerda, então +4 (4 unidades para a esquerda); e, depois, ainda vamos descer 3 unidades (deslocar 3 unidades para baixo, -3 para fora). Então, fazendo o gráfico, nós vamos ter lá... olhe lá... a curva vermelha é o tradicional raiz quadrada de "x". Deslocadas 5 unidades para a direita, raiz quadrada de "x - 5"; e 4 unidades para a esquerda e 3 unidades para baixo, a raiz quadrada de "x + 4", tudo isso -3. Para examinar, vamos pegar, por exemplo, este ponto. Nesse ponto, para a curva verde, o "x" é igual a 5. Se você colocar 5 aqui, "5 - 5", zero... raiz quadrada de zero. A mesma coisa acontece aqui. Aqui o "x" é zero; nesta aqui, raiz quadrada de zero. Temos pontos correspondentes aqui. Nesta situação da azul, se o "x" for -4, "-4 + 4", zero, que era o que estava dentro, o zero que estava dentro do radical. E -3... -3 deslocou 3 unidades para baixo. Veja aqui o -3. Vamos mexer um pouco mais na curva verde. E eu vou multiplicar aqui por 3. Veja só: conforme eu vario o "x", ao longo do eixo "y" os valores vão crescendo mais rapidamente. Multipliquei por 3, ele fica mais "esticado" para cima (entre aspas). E, se eu multiplicar aqui por um número menor que 1, por exemplo por "0,5", eu vou fazer exatamente o contrário; ela vai se esticar no sentido da horizontal, do eixo "x". Veja só como ela se estica aqui e vai crescendo mais lentamente. Eu posso, agora, aqui também colocar 4 unidades para cima o gráfico verde. Veja só, [foi] só adicionar 4 e ele foi deslocado 4 unidades para cima. Retomando a ideia da definição de raiz quadrada, aqui só poderíamos ter o valor não negativo mesmo da raiz quadrada porque senão cada valor de "x" teria dois resultados, o que invalida a função (não é uma função). Para a função existir, para cada "x", só pode existir um valor de "y" correspondente. Então, resumindo, se eu modifico algo dentro dos parênteses no lugar que era o "x", eu desloco o gráfico na horizontal à direita subtraindo, ou à esquerda adicionando. E, para cima e para baixo, devo adicionar ou subtrair, respectivamente, porém fora daquilo onde estava o "x". Eu espero que você tenha aproveitado bastante esta conversa sobre o deslocamento e a modificação no formato dos gráficos das funções da parábola e da raiz quadrada. Isso será usado mais adiante em outros vídeos. Até lá, então. Até o próximo vídeo. Bom estudo!