Identificação de variação direta e inversa

RKA - Já escrevi algumas relações entre as duas grandezas. Nesse caso, entre "m" e "n", entre "a" e "b" e entre "x" e "y". E o que eu quero fazer nesse vídeo é ver se a gente pode identificar se as relações são uma relação direta, se são diretamente proporcionais ou, talvez, inversamente proporcionais ou, ainda, nenhuma das duas coisas. Então, vamos explorar isso um pouco. Aqui temos "m" sobre "n" igual a 1 sobre 7, e vamos ver se podemos manipular isso. Se multiplicarmos os dois lados por "n", o que teremos? Geralmente, se você quiser separá-los de forma que as duas grandezas estejam em lados diferentes da equação, para que possa ver, esse será o padrão. Deixa eu escrever assim: é "m" igual a kn, essa seria a proporção, ou será o padrão "m" igual a "k" vezes 1 sobre "n". Assim, isso tem proporção inversa. E se vir algum desses, eles estão em lados diferentes do mesmo sinal. Vamos pegar essa primeira relação agora, vamos multiplicar os dois lados por "n", e obterá: "m', esses vão se cancelar, que é igual a 1 sobre 7 vezes "n". Assim, isso atende ao perfil de padrão de proporção direta, é uma constante vezes "n". "m" igual a uma constante vezes "n". Então, essa aqui é uma proporção direta. Vejamos: ab igual a -3. Então, se quisermos separá-los, e poderemos fazer isso com qualquer grandeza, vamos dividir os dois lados por "a". Poderíamos ter feito para "b". Se a gente dividir os dois lados por "a", obtemos "b" igual a -3 sobre "a". Ou, você também poderia escrever na forma de "b" igual a -3 vezes 1 sobre "a". De novo, esse aqui é o padrão. Uma grandeza é igual a uma constante vezes 1 sobre a outra grandeza, nesse caso, nossa constante é -3. Aqui, elas são inversamente proporcionais. Inversamente proporcionais. Vamos tentar fazer essa aqui. xy igual a 1 sobre 10. Mais uma vez, vamos tentar separar as grandezas, isolá-las em um dos lados da equação e vamos dividir os dois lados por "x". Você poderia dividir por "y" porque, na verdade, está tentando encontrar uma proporção inversa ou direta. Então, vamos dividir os dois lados por "x", você obtém "y" igual a 1 sobre 10, sobre "x", que é a mesma coisa que 1 sobre 10x. A mesma coisa que 1 sobre 10 vezes 1 sobre "x". Então, "y" é igual a alguma constante vezes 1 sobre "x". De novo, "y" e "x" são inversamente proporcionais. Vamos fazer essa aqui: 9 vezes 1 sobre "m", igual a "n". Então, essa já está feita para nós. E poderá ficar um pouco mais clara se invertermos isso aqui, se invertermos os lados esquerdo e direito, obtemos "n" igual a 9 vezes 1 sobre "m". "n" é igual a alguma constante vezes 1 sobre "m". Então, "n" é inversamente proporcional a "m". Lembre-se, se eu disse que "n" é proporcional aquele "m", isso também significa que "m" é inversamente a "n". Essas duas coisas implicam uma na outra. Vamos tentar com essa expressão aqui. Essa é um pouco mais difícil porque já separamos as grandezas dos dois lados, e temos isso aqui. Se isso fosse "b" igual a 1 terço vezes "a", então, teríamos uma proporção direta e "b" iria ser diretamente proporcional a "a". Mas, nesse caso, temos 1 terço menos "a". Você pode dizer: "Ah, talvez sejam opostos ou qualquer coisa assim", e, na verdade, temos que não é nem um, nem outro. Para tornar isso 100% claro, vamos ver dois desses exemplos. Em uma proporção direta, se ampliar uma grandeza em uma direção, precisaria ampliar a outra grandeza pela mesma quantia, pela mesma proporção. Então, se "x' dobra de 1 para 2, quando "x" é 1, na verdade, devo fazer isso com "m" e "n". Então, "m" e "n". E, do jeito que eu escrevi isso aqui, embora pudesse algebricamente manipular isso de forma que uma parece mais dependente que a outra, mas, nessa situação, onde "n" é 1 e "m" é 1 sobre 7, quando "n" é 7, "m" será 1. Assim, você tem essa situação que se "n" é ampliado por 7, então, "m" também será ampliado por 7, ou vice-versa. Isso, sim, se parece mais com uma proporção. Eu poderia ter expressado "n" em termos de "m", mas quando você amplia uma grandeza por 7, também tem que ampliar a outra grandeza por 7. Ou se ampliar por uma determinada quantia, precisa ampliar a outra grandeza pela mesma quantia. Isso é uma proporção direta. Vamos fazer o inverso, ou quando duas grandezas são inversamente proporcionais. Nessa situação aqui. Vamos usar "a" e "b". Quando "a" é igual a 1, "b" é igual a -3. Ou, poderíamos fazer isso mais explicitamente aqui, poderíamos até mesmo usar o original. Quando "a" é igual a 1, temos 1b igual a -3b, igual a -3. Se eu pegasse "a" e tivesse que triplicá-lo, eu multiplicaria por 3. Agora, "a" é igual a 3, temos 1 terço vezes -3. Então, "b" é igual a -1. Atenção, não multiplicamos "b" por 3, agora, dividimos por 3. Ou, outro jeito é multiplicarmos por 1 terço. Assim, se ampliar "a" por 3, está reduzindo "b" por 3. Dessa forma, são inversamente proporcionais. O que você verá é que em nenhuma dessas situações será o caso. Então, vamos tentar. Vou fazer com a mesma cor, verde. A mesma cor verde. Temos "a" e "b". Então, quando "a" é, quando "a" é 1, quanto vale "b"? 1 terço menos 1, isso é 1 terço menos 3 terços, que é -2 terços. Vamos, então, dividir, só por curiosidade, "a" por 3. Então, "a" vai para 1 terço. Dessa forma, estamos dividindo por 3, ou você poderia dizer que estamos multiplicando por 1 terço. Então, se "a" é 1 terço, "b" é igual a zero. "a" é igual a 1 terço, "b" é igual a zero. Perceba, se essa fosse a proporção direta, estaríamos multiplicando isso por 1 terço também, o que, certamente, não fizemos. Se essa fosse a proporção inversa, se elas fossem inversamente proporcionais, estaríamos multiplicando por 3, o que, certamente, não fizemos porque obtivemos outro número. Na verdade, a ampliação não fez diferença. O que aconteceu foi que esses números, na verdade, foram deslocados por uma certa quantia, foram deslocados por 2 terços. Então, eles não são nem diretamente, nem inversamente proporcionais.