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Gráficos de funções racionais (exemplo antigo)

Neste vídeo, associamos três gráficos de funções racionais a três fórmulas dessas funções considerando assíntotas e interceptações. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA1C - Nós temos três funções desenhadas neste gráfico aqui: a função f, em magenta, a função g, em verde, e a função h, nesta linha roxa pontilhada. E nós temos três potenciais expressões ou três expressões que poderiam ser potenciais definições para f, g e h. O que quero fazer neste vídeo é tentar fazer a correspondência delas, tentar fazer a correspondência das funções com as definições dessas funções. Encorajo você a pausar esse vídeo e tentar pensar sobre isso por si mesmo, antes que eu trabalhe nisso. Nós poderemos abordar isso de algumas maneiras, uma delas é que nós poderíamos pensar: "Qual o formato dos gráficos de cada uma dessas funções?" E depois pensar com qual desses gráficos cada uma se parece. Ou, então, nós poderíamos fazer o contrário: poderíamos olhar para o gráfico da função e pensar sobre as assíntotas vertical e horizontal, pensar em qual dessas expressões teria uma assíntota vertical ou horizontal naqueles pontos. Na verdade, eu farei da segunda maneira. Vamos olhar para os gráficos... Eu tendo a ser um pouco mais visual, gosto de olhar para os gráficos. Qual característica a f parece ter? Eu vou começar, então, com a f. A f parece ter uma assíntota vertical aqui em x igual a 5. Na verdade, em x igual a -5. Então, a gente tem uma assíntota vertical em x igual a - 5, "x = -5". Então, vamos pensar qual dessas funções teriam uma assíntota vertical x igual a -5. Em regra, para ter uma assíntota vertical, a função não pode ser definida no ponto, esse seria o primeiro modo de pensar nisso. Então, mesmo que o ponto não esteja definido na função, nós precisamos ter certeza que isso é realmente uma assíntota vertical, e não somente um buraco naquele ponto, ou seja, não será apenas um ponto de descontinuidade. Vamos pensar nisso. Essa primeira expressão está, de fato, definida para x igual a -5. A única razão que faria com que isso não estivesse definido é se tivéssemos 0 no denominador, mas, se você tem -5 menos 5, dá -10. Logo, essa primeira está definida nesse ponto e, portanto, não é ela. Esta outra também está definida em x igual a -5. O denominador não se torna 0 e, por isso, essa não é a f. Essa aqui, quando x se torna -5, o denominador se torna 0. Logo, essa parece... Eu só usei a lógica dedutiva pura. Logo, essa parece ser a minha melhor candidata a "f(x)", mas vamos confirmar que isso está de acordo com as outras coisas que nós estamos vendo aqui. Então, vamos olhar para assíntota horizontal de f. Se eu olho para o gráfico, parece ter uma assíntota horizontal. Especialmente quando x assume valores maiores, maiores e maiores, parece que a f(x) está se aproximando de 1. Agora, este caso aqui é o mesmo deste aqui, pois, quando x se torna maior, maior e maior, quando x se aproxima do infinito, o -2 e o 5 quase não fazem diferença. Logo, quando x se aproxima do infinito, está se aproximando por um x muito grande, será x sobre x. Nós temos que olhar para o termo de maior valor, e só se aproximará de 1 quando x for muito, muito, muito grande. Então, subtrair -2 no numerador e adicionar 5 no denominador irá importar menos, menos e menos porque x se torna muito grande, logo isso se aproximará de 1. Portanto, essa função parece consistente por esse ponto de vista. Vamos ver se tem algo mais que nos interesse. Bem, quando isso aqui é 0? Isso será 0 quando o numerador for 0, ou seja, quando x é igual a 2. E nós vemos que, nesse caso, a função realmente passa por esse ponto. Por fim, estou realmente convicto de que essa é a nossa f(x). Agora, vamos ver a g(x). A g(x) tem... Na verdade, ambos estão tentando fazer com que nós tropecemos aqui porque ambos se parecem, h e g(x). Ambas têm assíntota vertical em x igual a 5. Logo, a assíntota vertical não é o que nos fará diferenciar entre a g e h, pois ambas, g e h, têm uma assíntota vertical em x igual a 5, e você pode vê-las aqui, pois ambas não estão definidas em x igual a 5. Quando x é igual a 5, o denominador de ambas é 0. Então, vamos ver se a assíntota horizontal é capaz de nos ajudar. Veja que g parece ter uma assíntota horizontal em y igual a -2. Se x se torna muito positivo ou muito negativo, então, g se aproxima de -2. "y = -2" Então, o que está acontecendo aqui neste primeiro? Se nós distribuirmos o numerador, teremos 2x menos 12 sobre x menos 5. Para um x muito grande, "-12" e "-5" não irão importar muito. Para um x muito, muito, muito grande isso aqui será, aproximadamente, 2x sobre x. Deixe-me fazer isso aqui ficar bem claro. Então, vou escrever aqui em cima que isso vale quando o x se aproxima de infinito e, nesse caso, 2x sobre x seria 2. Seria, aproximadamente, igual a 2 quando x se aproxima do infinito. A assíntota de g não está em 2, está em -2. A assíntota de h é a única que parece estar em 2, em y é igual a 2, portanto, esta primeira aqui de cima parece ser h(x) e nós podemos confirmar isso. Quando h(x) é igual a 0? Bom, quando o numerador for igual a 0. Neste caso, quando x é igual a 6, e nós podemos ver isso bem aqui. Agora, isso pode não ter nos ajudado muito porque g também é igual a 0 em x igual a 6. Mas, pelo menos, a assíntota horizontal está nos dando essa pista. Quando o x é muito, muito, muito grande, então, subtrair 12 do numerador ou 5 do denominador importará menos, menos e menos. Nesse caso, nós temos que olhar para os termos de maior grau. Isso está se aproximando de 2x sobre x que é 2. Logo, isso é a nossa h(x). Agora, a g: se nós utilizarmos a nossa lógica dedutiva... Nós diríamos: "Bom, eu espero que essa aqui seja a nossa g(x)". Mas será que isso faz algum sentido? A g(x) vai ser igual a 12 menos 2x sobre x menos 5. Mas, quando x se aproxima do infinito, nós olhamos para os termos de maior grau: -2x sobre x quando x se aproxima do infinito. Então, isso aqui é igual a -2. Na verdade, isso aqui se aproxima de -2, e esse, com certeza, é o local da assíntota horizontal de g. Quando x é muito, muito grande nós nos aproximamos de -2. Da mesma forma, quando x é muito, muito pequeno, nós também nos aproximamos de -2. -2 vezes -1 bilhão sobre -1 bilhão também será -2. Então, nós podemos ficar tranquilos de que essa é a nossa g(x). Espero que tenham gostado. Até um próximo vídeo!