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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 13
Lição 10: Gráficos de funções racionais- Como fazer o gráfico de funções racionais de acordo com as assíntotas
- Gráficos de funções racionais: interceptação em y
- Gráficos de funções racionais: assíntota horizontal
- Gráficos de funções racionais: assíntotas verticais
- Gráficos de funções racionais: zeros
- Gráficos de funções racionais
- Gráficos de funções racionais (exemplo antigo)
- Representação gráfica de funções racionais 1
- Representação gráfica de funções racionais 2
- Representação gráfica de funções racionais 3
- Representação gráfica de funções racionais 4
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Como fazer o gráfico de funções racionais de acordo com as assíntotas
Neste vídeo, analisamos a função f(x)=(3x^2-18x-81)/(6x^2-54) e determinamos suas assíntotas horizontais, assíntotas verticais e descontinuidades removíveis. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA - Nós temos
"f(x) = (3x² - 18x - 81)/(6x² - 54)". Agora, o que eu quero fazer nesse vídeo é encontrar
as equações para as assíntotas horizontal e vertical. E eu encorajo você a pausar esse vídeo
agora e tentar trabalhar nisso sozinho. Assumindo que você pelo menos tentou fazer,
vamos pensar em relação a cada uma delas. Vamos pensar primeiro
na assíntota horizontal. Veja que é pelo menos uma.
A assíntota horizontal é, realmente... então qual é a linha? A linha
horizontal que "f(x)" se aproxima quando o valor absoluto de "x"
se aproxima de infinito? Ou nós poderíamos dizer: de que valor "f(x)"
se aproxima quando "x" se aproxima do infinito e quando "x" se aproxima
do infinito negativo? Há várias maneiras de pensar nisso, mas
vamos somente reescrever a definição de "f(x)". Isso é "3x² - 18x - 81",
isso tudo aqui sobre "6x² - 54" Agora, há duas maneiras
de você pensar nisso. Você poderia dizer: "ok", quando "x"... quando o
valor absoluto de "x" se torna maior, maior e maior, os termos de maior grau do numerador
e do denominador irão dominar. (haha, denominador e numerador
irão dominar; ficou engraçado isso). E quais são os termos de maior grau? No numerador, você tem "3x²",
e no denominador, você tem "6x²". Então, quando "x" se aproxima... quando o
valor absoluto de "x" se aproxima do infinito, esses dois termos irão dominar. "f(x)" irá
se tornar aproximadamente "(3x²)/(6x²)". Esses outros termos importarão menos. Obviamente, -54 não irá crescer, e "-18x"
irá crescer muito mais lentamente do que "3x²". Os termos de grau mais
elevado serão os que dominarão. Se nós olharmos somente esses termos, então,
nós podemos pensar em simplificá-los dessa forma. Logo, "f(x)" está ficando perto de 3/6 ou 1/2. E você poderia dizer que é uma
assíntota horizontal em "y = 1/2". Mas, se você não gosta desse método, eu tenho
um argumento um pouquinho mais completo. Um argumento um pouquinho mais completo
do que esses dois termos dominarem é que nós podemos dividir o numerador
e o denominador pelo maior grau, ou por "x" elevado à maior potência
no numerador e no denominador. O termo de maior grau é "x²" no numerador, portanto, vamos dividir o numerador e o denominador... ou eu deveria ter dito que o termo de maior
grau no numerador e no denominador é "x²"... então, vamos dividir o numerador
e o denominador por isso. Se você multiplicar o numerador por "1/x²",
e o denominador por "1/x²"... repare que isso não está mudando o valor da expressão, nós estamos apenas multiplicando por 1. Se nós assumirmos, claro,
que "x" não é igual a zero. Daí, então, nós ficaremos com...
o nosso numerador... vamos ver... "3x²" dividido por "x²" será 3...
menos "18/x" menos "81/x²"... e tudo isso sobre... "(6²)‧(1/x²)",
isso será 6... e, por fim, menos "54/x²". Então, o que está acontecendo
se você quiser pensar em limites como alguma coisa que
se aproxima do infinito? Se você quer dizer o limite de quando "x" se aproxima
do infinito aqui, então, o que está acontecendo? Bem, isso, isso e isso estão se aproximando de zero. Logo, nós estamos nos aproximando de 3/6 ou 1/2. Agora, se você diz que isso se aproxima do
infinito negativo, então, seria a mesma coisa. Esse, esse e esse se aproximam de zero e,
mais uma vez, nos aproximamos de 1/2. Portanto, essa é a
assíntota horizontal: "y = 1/2". Agora, vamos pensar
nas assíntotas verticais. Deixe-me escrever isso bem aqui. Deixa
eu chegar um pouquinho mais para cá. Assíntota vertical. Bom, ou possíveis assíntotas verticais,
porque pode ser que a gente tenha mais de uma. E, talvez, seja muito tentador dizer: ok, você encontra uma assíntota vertical
quando o denominador é igual a zero, o que tornaria essa
expressão racional indefinida. E, como nós veremos, nesse caso,
isso não está exatamente correto. Fazer com que o denominador seja zero não
fará com que tenhamos uma assíntota vertical. Isso, definitivamente, será um
lugar onde a função é indefinida, e não fará com que seja uma assíntota vertical.
E vamos pensar nesse denominador aqui. Nós podemos fatorá-lo. Na verdade,
vamos fatorar o numerador e o denominador. Nós podemos reescrever isso
aqui como sendo "f(x)" é igual a... todos os termos do numerador
são, claramente, divisíveis por 3. Logo, isso será "3‧(x² - 6x - 27)", e tudo isso sobre... cada termo do denominador pode
ser dividido por 6. Então, "6‧(x² - 9)". E vamos ver se nós podemos fatorar
ainda mais o numerador e o denominador. E isso será "f(x)", que é
igual a 3 vezes... vamos ver... dois números cujo
produto é -27 e sua soma é 6. 9 e -3 parecem funcionar. Então, você poderia
colocar "3‧(x - 9)‧(x + 3)". E esses são os fatores do
numerador... sobre o denominador. E isso aqui é uma diferença de quadrados.
Isso seria "6‧(x - 3)‧(x + 3)". Então, quando o denominador
vai ser igual a zero? O denominador vai ser igual a zero
quando "x" for igual a +3 ou "x" for igual a -3. Agora, eu encorajo você a pausar esse vídeo
novamente por um segundo e pensar sobre isso. Ambas são assíntotas verticais? Bem, você pode perceber que o numerador
também é igual a zero quando "x = -3", logo, o que nós podemos fazer é,
na verdade, simplificar um pouquinho e, por fim, se tornará um pouco mais
claro onde está a nossa assíntota vertical. Nós poderíamos dizer "f(x)"... nós poderíamos, essencialmente, dividir o numerador por "(x + 3)". E, se nós queremos manter
a função idêntica à original, nós temos que manter a impossibilidade que
a função tem de estar definida quando "x = -3", o que, definitivamente, faria com
que tivéssemos que dividir por zero. Nós temos que nos lembrar disso,
mas nós simplificaremos essa expressão. Exatamente essa mesma função será... se nós dividirmos o numerador e o denominador por "(x + 3)", isso será "f(x)" que é igual a
"3‧(x - 9)/6‧(x - 3)", para "x" diferente de -3. Repare que essa é uma definição idêntica
à definição da nossa função original. E eu tenho que dar um destaque nisso aqui
porque a nossa função é indefinida em "x = -3". "x = -3" não faz parte do domínio
da nossa função original. Então, se nós retirarmos o "(x + 3)" do numerador
e o "(x + 3)" do denominador, nós temos que nos lembrar disso. Se nós simplesmente deixarmos assim,
isso não seria a mesma função, porque, nessa configuração, o -3 está definido,
mas nós queremos ter exatamente a mesma função. Na verdade, nós temos um ponto
de descontinuidade bem aqui; e, agora, nós podemos pensar
sobre a assíntota vertical. Agora, a assíntota vertical será um ponto
que faz com que o denominador seja zero, mas não faz o numerador ser zero. "x = 3" faz com que ambos sejam zero. Logo, nossa assíntota vertical... vou fazer isso aqui com verde...
ou seria azul... bom, a nossa assíntota
vertical está em "x = 3". Isso é o que faz com que o denominador
seja zero, mas, não o numerador. Deixe-me escrever isso aqui. Então,
a assíntota vertical é quando "x = +3". Com esses dois pontos de informação, acredito que, com o que nós calculamos
até aqui, seja possível construir o gráfico. Você pode começar a tentar esboçar o gráfico.
Isso aqui sozinho, não seria suficiente. Você talvez queira também desenhar
alguns pontos para ver o que acontece, acredito que no entorno das assíntotas, quando nós
nos aproximamos das duas diferentes assíntotas. E isso pode ser mais fácil se
nós olharmos para o gráfico. Vamos fazer isso só por diversão.
Vamos completar a figura sozinhos. Parecerá com algo como isso aqui. Então, eu tenho aqui (eu não
vou fazer isso... fora de escala)... então, eu tenho aqui o 1 e aqui
está 1/2. Bem aqui está o 1/2. Então, a nossa assíntota horizontal
vai passar por aqui, em 1/2. Então, aqui está a nossa
assíntota horizontal. Então, é por aqui que ela vai passar. Então, a nossa assíntota
horizontal está aqui em "y = 1/2", e nós temos uma
assíntota vertical em "x = +3". Nós temos um, dois... deixa eu escrever
isso aqui de azul... um, dois, três positivo. E, mais uma vez, eu não
desenhei isso em escala (ou, se você preferir, o eixo "x" e o
eixo "y" não estão na mesma escala), então, nós temos uma assíntota
vertical parecida com essa aqui. Deixa eu completar
para baixo aqui também. Então, essa vai ser a
nossa assíntota vertical. Ela está passando pelo
ponto (3, 0) em "x = 3". E, somente olhando isso, nós não sabemos
exatamente como a função se parece. Então, como não sabemos exatamente
como a nossa função se parece, ela poderia parecer com algo como
isso, e isso; ou, em vez disso, isso aqui. Enfim, poderia também ser um pouco diferente.
Poderia ser assim, poderia ser assim, ou poderia ser assim. Enfim, eu espero que você tenha
uma ideia aqui, e calcule como é isso. Na verdade, você poderia
querer tentar alguns pontos. A outra coisa que nós queremos que esteja bem clara
é que a função "f(x)" não está definida para "x = -3". Então, nós vamos ter que
colocar isso aqui também. Então, deixa eu fazer aqui "x = -3". Então, um, dois, três...
-3 está bem aqui. Então, a função, mais uma vez, talvez pareça...
bom, eu não testei nenhum desses pontos; então, todos eles são um esboço.
Então, poderia ser algo assim. Ops, deixa eu colocar aqui que
"f(x)" não está definida em "x = -3". Então, a "f(x)" não
está definida em "x = -3". Então, isso poderia ser algo parecido com
isso aqui... poderia ser assim e assim... ou, ela poderia estar
aqui na parte de cima. Lembrando que a função
não está definida em "x = -3". E aqui é uma assíntota, então, ela está
chegando cada vez mais perto e perto... poderia ser aqui também,
ou ainda poderia ser aqui... enfim, mais uma vez, para decidir qual dessas aqui será na verdade, você teria que experimentar alguns valores. Eu encorajo você, após esse
vídeo, a tentar isso sozinho. E tentar mostrar com que
o gráfico disso aí parece. Espero que vocês tenham gostado.
E até um próximo vídeo!