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Introdução à expansão de frações parciais

Neste vídeo, explicamos o que é expansão de frações parciais reescrevendo (x²-2x-37)/(x²-3x-40) como a soma de 1 e duas expressões racionais com denominadores lineares. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA1MP Vamos ver se aprendemos alguma coisa sobre expansão em frações parciais ou o que, às vezes, é chamada de decomposição em frações parciais. A ideia é pegar funções racionais, que são funções ou expressões, onde uma expressão é dividida por outra, e, basicamente, expandi-las ou decompor em partes mais simples. A primeira coisa que tem que fazer, antes mesmo de começar o processo de expansão da fração, é ter certeza de que o numerador tenha um grau menor do que o denominador. Nesta situação, o problema que eu esbocei aqui, que escrevi, não é o caso. O numerador tem o mesmo grau do denominador. O primeiro passo é simplificar, chegar no ponto onde o numerador tem um grau menor do que o denominador, fazendo um pouco de divisão algébrica. E eu fiz um vídeo sobre isso, mas não faz mal dar uma revisada. Então, para fazer, a gente divide o numerador pelo denominador para determinar o resto. Então, dividimos x² - 2x - 37 por x² - 3x - 40. Quantas vezes, você olha para o termo com o maior grau? Então, x² vai em x² uma vez. Uma vez tudo é x² -3x - 40. Agora, você subtrai isso daquilo para chegar no resto. E veja que, se estou subtraindo, vou subtrair, então, menos com menos é mais e você pode somar. Estes se cancelam, -2x mais 3x, isso é "x". -37 mais 40 e mais 3, essa expressão pode ser escrita como, deixa eu descer um pouquinho, como 1 mais x + 3, sobre x² -3x - 40. Isso pode parecer como algum tipo de mágica, mas não é diferente daquilo que fez na quarta ou na quinta série onde você aprendeu a converter frações impróprias não aparentes em números mistos. Vou fazer um exemplo à parte aqui. Se eu tivesse 13 sobre 2 e quisesse transformá-lo em número misto, provavelmente, poderia fazer isso de cabeça, mas divide o numerador pelo denominador, como fizemos aqui, 2 cabe em 13, vemos que 2 cabe 6 vezes em 13. 6 vezes 2 é 12, você subtrai isso disso, tem o resto de 1. 2 não cabe em 1, então, isso é só o resto. Se quer reescrever, seria o número de vezes que o denominador cabe no numerador, que é 6, mais o resto sobre o denominador. Mais 6, mais 1 sobre dois. Quando você fez isso no Fundamental I, escreveu 6 e 1/2, mas 6 e 1/2 é a mesma coisa que 6 mais 1/2. Isso é a mesma coisa que fizemos aqui. O denominador coube no numerador uma vez e depois de um resto de "x" mais 3, então, é 1 mais x + 3 sobre essa expressão. Agora, vemos que esse numerador, nessa expressão racional, tem um grau menor do que o numerador, o maior grau aqui é 1. O maior grau aqui é 2, então dá para começar a nossa decomposição em frações parciais. Para isso, é só pegar essa expressão e transformá-la em duas expressões mais simples, onde os denominadores são os fatores deste denominador da primeira fração. Com isso, vamos fatorar esse denominador. Quais dois números somam -3 e quando multiplica tem -40? Vamos ver, eles têm que ter sinais diferentes porque quando multiplica tem um negativo. Então, tem que ser -8 e +5, a gente pode reescrever como, vou mudar de cor, 1 mais x + 3 sobre x + 5, vezes x - 8. 5 vezes 8 é -40 e 5 vezes -8 é -40. E +5 - 8 é -3, então, beleza. Agora, eu vou me concentrar nesta parte. Dá para lembrar que 1 está bem ali na frente. E esta é a expressão que queremos decompor ou expandir. E vamos expandir em duas expressões mais simples onde cada um desses é um denominador. E eu vou fazer a declaração se os números funcionarem. Então, a declaração é verdadeira. Faço a declaração de que posso expandir ou decompor em duas frações, onde a primeira fração é só um número, A, sobre o primeiro fator, sobre x + 5, mais um número, B, sobre o segundo fator, sobre x - 8. Essa é a minha declaração e, se possa solucionar A e B de forma que realmente chegue nesta soma, então, consegui e decompus essa fração completamente. Eu acho que é assim, eu não sei se essa é a terminologia correta. Vamos tentar, se eu somasse esses dois termos, o que teria? Quando somos duas frações, acho denominador comum e o denominador comum. O denominador comum mais fácil é multiplicar os dois denominadores e escrever A sobre x + 5, mais B sobre x - 8 é igual a, vamos tirar o denominador comum, é igual a x + 5 vezes x - 8. E o termo A a gente... A sobre x + 5 é equivalente a A vezes x - 8 sobre isso tudo. Quer dizer que se escrevi, simplesmente, cancelaria esses dois termos e teria A sobre x + 5 e poderia somar ao, colocando o denominador comum, x + 5 vezes x - 8. E da mesma forma teria B vezes x + 5. É importante entender que, veja, esses termos são exatamente a mesma coisa que esse termo se cancelar o x - 8 e esse termo é equivalente a esse termo se cancelar o x + 5. Mas, agora que tem um denominador comum dá para somar junto e tem, vou escrever o lado esquerdo aqui, A sobre x + 5, desculpa, quero escrever isso aqui, quero escrever x + 3 sobre x + 5 vezes x - 8 é igual à soma dessas duas coisas em cima. A vezes x - 8, mais B vezes x + 5, tudo isso sobre o denominador comum x + 5 vezes x - 8. Os denominadores são os mesmos, e sabemos disso quando você soma e tem isso. Então, se queremos solucionar A e B, vamos definir a igualdade. Dá para ignorar, os denominadores, dá para dizer que x + 3 é igual a A vezes x - 8, mais B vezes x + 5. Agora, tem duas formas de solucionar A e B a partir daqui. Uma forma é como me ensinaram na 7ª ou 8ª série que, normalmente, demora um pouco mais e tem a forma rápida de fazer que nunca dói, né? Vamos fazer da forma rápida primeiro. Se quer solucionar A, vamos escolher um "x" que faça esse termo desaparecer, qual "x" faria esse termo desaparecer? Se eu disser "x" vale -5, então, vira zero e B desaparece. Se disser que "x" vale -5, estou escolhendo qualquer "x" para poder solucionar isso, que seria -5 mais 3. -5 mais 3, só vou escrever -5 mais 3 que é igual a A vezes -5 - 8. -5 -8, mais B, vezes -5 mais 5. Peguei o -5 para tornar essa expressão 0. Então, temos, vou pegar uma cor mais forte, -5 mais 3 é -2 que é igual a, o que é isso? -13A mais zero, né? Isso é zero. -5 mais 5 é zero. Zero vezes B é zero e divide os dois lados por -13. Os negativos se cancelam e você tem 2 sobre 13 é igual a A. E agora dá para fazer a mesma coisa em cima e nos livrar dos termos fazendo com que "x" seja igual a 8. Se "x" é igual a 8, você tem x + 3 é igual a 11. É igual a A vezes 0, mais B, B, vezes, o que é 5... 8 mais 5 é +B vezes 13. O B deles parece um pouco com 13. Você tem 11 é igual a 13B. E dividimos os dois lados por 13 e tem B é igual a 11 sobre 13. Então, conseguimos solucionar nossos A e nossos B. Agora podemos voltar a nossa equação original e dizer: "Uau, tem que ser igual a 2 sobre 13 e tem que ser igual a 11 sobre 13." A equação original que escrevemos aqui pode ser decomposta em 1, este 1 aqui. Mais isto que é 2 sobre 13. Vou escrever assim por enquanto, 2 sobre 13 sobre x + 5. Você pode trazer o 13 aqui para baixo se quiser escrever de maneira a não ter uma fração sobre uma fração. mais 11 sobre 13, sobre x - 8. E, mais uma vez, pode trazer o 13 para baixo para não ter uma fração sobre fração, mas conseguimos decompor bem. Não quero dizer que simplificamos, porque pode dizer: "A gente tem só uma expressão e agora tenho três.", mas reduziu o grau tanto dos numeradores como dos denominadores. Dá para falar: "Bom, porque eu teria que fazer isso?" E você tem razão. Na álgebra, provavelmente, não precise, mas essa é uma técnica útil para mais tarde quando estudar cálculo e, na verdade, nas equações diferenciais porque muitas vezes é muito mais fácil. E eu digo algo que pode não entender. Calcular a integral ou a ante derivada de algo como isso do que algo como isso. E, mais tarde, quando fizer transformações de Laplace invertidas e equações diferenciais, é muito mais fácil pegar uma transformação de Laplace invertida de algo assim do que algo assim. Espero que eu tenha dado mais uma ferramenta para o seu kit e eu vou fazer mais alguns vídeos porque ainda não vimos todos os exemplos de como dá para mostrar uma decomposição parcial de fração. Fui!