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Expansão de frações parciais: fatores repetidos

Neste vídeo, realizamos a expansão de frações parciais em (6x²-19x+15)/(x-1)(x-2)². Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA1MP Tem mais um caso de decomposição em frações parciais que você poderá encontrar, então achei melhor mostrar. Esta é a situação onde tem um fator repetido no denominador e a partir dele construir um problema. 6x², 6x² menos 19x mais 15, tudo sobre x - 1, vezes, e é o que o torna ainda mais interessante, x - 2 ao quadrado. Pode falar: "Nossa! Esse é um pouco diferente. O que eu devo fazer aqui?" Tenho esse fator de primeiro grau, mas ele aparece duas vezes. Não faz sentido fazer isso. A sobre x - 1 mais B sobre x - 2 , mais C sobre x - 2, porque, se fizesse isso, o B e o C se somariam porque eles têm o mesmo denominador. Você poderia encarar como uma só variável e não precisaria ter duas variáveis separadas. Então, não faria sentido como uma expansão de em fração parcial disso. Você poderia colocar ao quadrado e encarar como um termo de segundo grau e fazer como fez no exemplo anterior. Mas, aí, não teria decomposto o problema por completo e a resposta é decompor praticamente assim. Mas, em vez de ter C sobre x - 2, terá C sobre x - 2 ao quadrado. E vou tentar te dar uma dica sobre por que isso acontece. Então, a decomposição será A sobre x - 1, mais B sobre x - 2, mais C sobre x - 2 ao quadrado. E a dica é que, se fosse, vamos ignorar esse termo, mas se somasse esses termos, teria uma função racional que acabaria tendo alguma coisa vezes "x" mais alguma coisa e seria consistente com o que fizemos no segundo vídeo de fração parcial, onde, se você tivesse um termo de segundo grau na parte de baixo e o numerador quando soma somente essas duas partes, eu vou explicar o que estou dizendo, eu vou dar uma dica. Se somasse somente essas duas partes, teria alguma coisa, vezes "x" mais alguma coisa, tudo sobre x - 2 ao quadrado. E é consistente com o que fizemos no vídeo anterior, onde dissemos que tem um termo de segundo grau no denominador, deveria ter um termo de primeiro grau no numerador. Então, vou deixar isso aí. É um tanto interessante e é bom pensar sobre por que funciona. Mas, dito isso, vamos resolver o problema; Vou apagar algumas dessas coisas que eu escrevi. Deixa eu apagar tudo isso. Beleza. Estamos prontos para mexer neste problema. Considerando que esta é a expansão agora só tem que calcular A, B e C. Se somar essas três frações, o denominador comum é x - 1, vezes x - 2 ao quadrado. E isso é um fator, então o menor múltiplo comum disto e disto é somente isso, é somente x - 2 ao quadrado e é por isso que fizemos isso. E o numerador será, deixa eu usar outra cor, A. Pelo o que tem que multiplicar o A? A vezes x - 2 ao quadrado, certo? Se cancelar esses, acaba ficando com A sobre o x - 1, mais B vezes x - 1, vezes x - 2, certo? Se cancelar o x - 1 e um desses x - 2 daqui de baixo, você acaba ficando com o B sobre x - 2, mais C vezes x - 1. Se isso se cancela com isso, tem C sobre x - 2 ao quadrado e tudo vai ser igual a, aí em azul, será igual a, preciso escrever com letra menor, 6x² -19x + 15 tudo sobre x - 1, vezes x - 2 ao quadrado. E, como tem feito em todos os problemas até agora, os denominadores são iguais e podemos fazer o numeradores serem iguais entre si e tentar calcular A, B e C. Então, só estou reescrevendo A vezes x - 2 ao quadrado, mais B vezes x - 1, vezes x - 2, mais C vezes x - 1, vai ser igual a 6x² - 19x + 15. Agora tem que calculá-los e podemos fazer isso da mesma forma como fizemos nos problemas anteriores. Dá para escolher opções para "x" que se cancelem facilmente. Se quiser calcular A, queremos fazer com que B e C se cancelem. Só tem que escolher "x" é igual a 1 porque, se "x" é igual a 1, aqui fica sendo zero, então o C desaparece. Daí, vira zero, então o termo inteiro desaparece, ficamos somente com isto e isto. Quando "x" é igual a 1, temos, em outra cor, A vezes 1 - 2, é -1², é só 1. Então, A vezes 1. Não podemos simplesmente deixar o A aí. Isso fica zero, porque esse termo será zero se "x" for 1. Isso fica zero, porque esses termos seriam zero se "x" é igual a 1. A igual a 6 vezes, 6 menos 19, vezes 1, que é -19, mais 15. Quanto é isso? -19 mais 15 é -4, mais 6 é igual a 2. Aí está. Agora vamos tentar calcular, o que podemos fazer? Se fizer "x" igual a 2, então A desaparece. Esse termo completo desaparece porque seria zero, não poderia usar para calcular C. Se disser que "x" é igual a 2, então temos que esse termo seria zero, porque é zero. Toda essa expressão é zero porque x - 2 seria zero. E ficamos com C vezes 2 - 1, então é 1. C é igual a 6 vezes 4, certo? 2². É 24 menos 38, 19 vezes 2, mais 15. Vejamos. 24 mais 15 é 39, menos 38 é igual a 1. Estamos quase chegando lá. Agora, para B não existe uma forma óbvia de fazer com que os outros dois se cancelem sem fazer com que o B se cancele, mas solucionamos todo o resto, então podemos simplesmente escolher um número qualquer para "x" que tornará as coisas mais simples. Se escolher "x" é igual a zero, e é sempre algo que pode simplificar muito qualquer problema de álgebra, "x" é igual a zero e não 3. "x" é igual a zero. Eu vou fazer isso em uma cor diferente. Se "x" é igual a zero, o que temos? Temos A, mas A é 2. 2 vezes (zero - 2)², então é 2². É 2 vezes 4, mais B, que é isso que estamos tentando calcular, já calculamos tudo. B vezes -1. Zero menos 1 é -1, vezes -2, mais C vezes -1 é igual a, bom, se "x" é zero, então, é zero, zero que é igual a 15. Então, calculamos B. Tem 8 + 2B, certo? -1 vezes -2 é +2. E não deveria ter escrito C aqui. Sabemos quanto é C. C é 1, então é simplesmente 1. 1 vezes -1 é -1, é igual a 15. E tem 2B é igual a 16, é igual a 8. B é igual a 4, dividindo os dois lados por 2, então terminamos! A decomposição da fração parcial disto é A, que é 2, então é igual a 2 sobre x - 1. Mais B, que é 4. Mais 4 sobre x - 2. Mais C, que é 1, sobre x - 2 ao quadrado. E o que fizemos com o fator repetido é verdadeiro se partir para um termo de grau mais alto. Se tivesse "bla, bla, bla", um polinônimo aqui, e fosse sobre x menos, sei lá, um número qualquer, (x - a) elevado à potência de 10. Se quiser decompor em frações parciais seria A sobre x - a, sobre x - a que é diferente, só estou mostrando isso, mais B vezes x - a ao quadrado, mais e vai embora, você teria dez termos mais, não sei qual é a décima letra do alfabeto, talvez H ou I, sei lá, talvez, seja J. J sobre (x - a) elevado à potência de 10. Então, pode usar essa propriedade em geral, mas você quase não verá algo assim porque demoraria muito para fazer. O problema mais cabeludo que poderia ver com três variáveis em uma prova, provavelmente, seria algo como eu mostrei no exemplo anterior, ou que acabei de mostrar. Qualquer coisa mais cabeluda que isso, provavelmente, teria que usar um computador. Mas, você deveria saber como fazer porque, se tem um computador e está calculando um problema do mundo real que é muito mais complicado que isso, tem que saber como fazer. Enfim, espero que tenha curtido.