Inequações racionais: um lado é igual a zero

RKA1MP Neste vídeo, quero fazer alguns problemas de desigualdade que são um pouco complicados. Talvez, você esteja pensando: "Os problemas de desigualdade não são um pouco complicados." De alguma forma, você está certo, mas vamos começar com o primeiro. Tem x - 1 sobre x + 2 que é maior que zero. E eu estou fazendo isso para te mostrar as duas formas. A primeira forma, eu acho mais simples, mas vou te mostrar os dois métodos para, daí, escolher o que for melhor. A primeira forma de encarar é que se eu tenho qualquer número dividido por qualquer outro número e digo que o consciente deles será maior que zero, a gente tem que lembrar das propriedades de multiplicação e divisão de números negativos. Em qual situação a fração será maior do que zero? Isso será maior do que zero somente se tanto "a", dá para escrever, tanto "a" quanto "b" são maiores do que zero. Esta é uma circunstância onde, definitivamente, será verdadeiro. Tem um positivo dividido por um positivo e, definitivamente, será um positivo. Definitivamente, será maior do que zero. Ou, podemos ter a situação onde tem um negativo dividido por um negativo. Se tem o mesmo sinal dividido pelo mesmo sinal, também teremos um positivo. Então, ou "a" é menor que zero e "b" é menor que zero. Quando você tem qualquer tipo de expressão racional como esta que é maior que zero, tem duas situações onde isto será verdadeiro. O numerador e o denominador são os dois maiores que zero ou os dois são menores que zero. Então, vamos lembrar e resolver esse problema. Tem duas situações para resolvê-lo. A primeira é onde os dois são maiores que zero. Se isso e isso forem maiores que zero, então beleza. Então, dá para dizer que a nossa primeira solução, talvez eu desenhe pequeno diagrama assim que é x - 1 maior que zero, e x + 2 maior que zero. Isso é equivalente a isto, o de cima e de baixo. E os dois são maiores que zero, então, quando divide, você vai ter alguma coisa maior que zero. A outra opção é se os dois fossem menores que zero. x - 1 é menor que zero e x + 2 é menor que zero. Se os dois são menores que zero, então tem um negativo dividido por um negativo que será um positivo. Logo, tudo será maior que zero. Vamos solucionar as duas circunstâncias. x - 1 maior que zero. Se somar um dos dois lados disso, teremos que "x" é maior que 1. E, se fizer x + 2 maior que zero, se subtrair 2 dos dois lados dessa inequação, lembre-se que estou fazendo isso agora, e tem "x" que é maior que -2. Para que os dois sejam verdadeiros, então, nessa cor marrom ou vermelha, como preferir, para que as duas sejam verdadeiras, "x" tem que ser maior que 1 e "x" tem que ser maior que -2. Descobrimos que esta declaração significa que "x" tem que ser maior que 1 e essa declaração nos diz que "x" tem que ser maior que -2. Agora, se "x" é maior que 1 e "x" tem que ser maior que -2, "x" logicamente tem que ser maior que 1. Zero não vai satisfazer porque zero é maior que -2, mas não é maior que 1. Para que algo seja maior que 1 e maior que -2, tem que ser maior que 1. Toda esta linha de pensamento onde digo que o numerador e o denominador são maiores que zero só vai acontecer se "x" for maior que 1, porque, se "x" for maior que 1, definitivamente, será maior que -2. Qualquer número maior que 1, com certeza, é maior que -2. Essa é uma situação na qual esta inequação é verdadeira e dá até para testar. "x" é 2. 2 menos 1 é 1, sobre 2 mais 2, é 4, logo, é um número positivo. Agora, vamos fazer a situação onde os dois são negativos. Se o x - 1 é menor que zero, se somar 1 dos dois lados dessa equação, teremos que x - 1 é menor que zero. Isso é a mesma coisa que somar 1 dos dois lados, quer dizer que "x" é menor que 1. Então, essa restrição acaba sendo essa restrição. Agora, essa restrição, x + 2 é menor que zero. Se subtrair dois dos dois lados tem "x" é menor que -2, então essa restrição acaba sendo esta restrição. Para que esses dois caras sejam negativos, tanto o numerador como o denominador, a gente sabe que "x" tem que ser menor que 1 e "x" tem que ser menor que -2. Agora, se algo tem que ser menor que 1 e tem que ser menor que -2, tem que ser menor que -2. Qualquer coisa menor que -2 vai satisfazer os dois. A gente tem que "x" também pode ser menor que -2. E lembre-se que ou o numerador e o denominador são positivos, ou os dois são negativos. Os dois sendo positivos, quer dizer que "x" pode ser maior que 1 ou os dois sendo negativos quer dizer que "x" é menor que -2. Nossa solução é "x" poderia ser maior que 1 ou, os dois são positivos, ou "x" é menor que -2, isto é, os dois são negativos. E, se quiser desenhar em uma reta numérica, deixa eu desenhar uma reta numérica assim, isso poderia ser zero e, aqui, temos 1. E "x" poderia ser maior que 1, não maior que ou igual. Colocamos uma pequena bolinha aberta ali para mostrar que não estamos incluindo 1. E tudo maior que 1 vai satisfazer esta equação ou qualquer coisa menor que -2. -1, -2. Qualquer coisa menor que -2 também satisfaz esta equação, tornando o numerador e o denominador negativos. E você pode experimentar -3. -3 - 1. Vou fazer só -3 - 1 é igual a -4. Então, -3 mais 2 é igual a -1. -4 dividido por -1 é +4. Todos esses números negativos também funcionam. Agora, eu disse que mostraria as duas formas de fazer esse problema, então vou mostrar outra forma, caso tenha achado essa um pouco confusa. Você tem x - 1 sobre x + 2 que é maior que zero. Na verdade, vamos misturar um pouco e poderia aplicar a mesma lógica. Digamos que é maior que o igual a. Bom, na verdade, não. Eu vou manter a mesma forma e, talvez, no próximo vídeo, faça o caso onde é maior que ou igual só porque, realmente, eu não quero, talvez eu queira aumentar o nível de dificuldade aos poucos. Digamos que x - 1 sobre x + 2 é, simplesmente, maior que zero. Uma coisa que pode dizer é: “Bom, se tem uma expressão racional como essa, talvez multiplique os dois lados dessa inequação por x + 2. Livro-me dela no denominador e posso multiplicar por zero e tirá-la da frente.” Mas, o problema vem quando você multiplica os dois lados de uma desigualdade por um número. Se está multiplicando por um positivo pode manter a desigualdade igual. Mas, se está multiplicando por um negativo, tem que trocar a desigualdade e não sabemos se x + 2 é positivo ou negativo. Então, vamos ver as duas situações. Vamos criar uma situação onde x + 2, vou escrever assim, x + 2 é maior que zero, e outra situação onde, deixa eu usar outra cor, x + 2 é menor que zero. Estas são duas possibilidades para x + 2. Na verdade, nessas situações, x + 2 pode ser igual a zero? Se x + 2 fosse igual a zero, então toda essa expressão seria indefinida. Definitivamente, não será uma situação com a qual queremos lidar, seria uma situação indefinida. Estas são as duas situações quando estamos multiplicando os dois lados. Se x + 2 é maior que zero, quer dizer que "x" é maior que -2. A gente pode simplesmente subtrair 2 dos dois lados da inequação. Se "x" é maior que -2, então x + 2 é maior que zero e dá para multiplicar os dois lados dessa inequação vezes x + 2. Você tem x - 1 sobre x + 2 maior que zero. Vou multiplicar os dois lados por x + 2. Estou assumindo que é positivo porque "x" é maior que -2. Multiplique os dois lados por x + 2, esses cancelam. Zero vezes x + 2 é só zero e você fica com x - 1 é maior que, o resultado aqui é zero. Solucionado o "x", some 1 dos dois lados e terá "x" é maior que 1. Então, vimos que x + 2 é maior que zero. Ou, poderemos dizer que, se "x" é maior que -2, então "x" tem que ser maior que 1. Ou podemos dizer, se "x" é maior, bom, poderia funcionar dos dois lados, mas essas duas coisas têm que ser verdadeiras. Se para que "x" satisfaça os dois lados e ele só tem que ser maior que 1 porque, se for maior que 1, ele definitivamente vai satisfazer essa restrição aqui. Para essa possibilidade, chegamos à solução "x" é maior que 1. Esta é uma situação onde x + 2 é maior que zero. A outra situação é onde x + 2 é menor que zero. Se x + 2 for menor que zero, isso é a mesma coisa que dizer que "x" é menor que -2. Você só subtrai 2 dos dois lados. Agora, se x + 2 é menor que zero, o que temos que fazer quando multiplicar os dois lados? Vamos lá, tem x - 1 sobre x + 2, tem uma desigualdade e temos um zero. Agora, se multiplicar os dois lados por x + 2 e, considerando x + 2 como um número negativo, quando você multiplica os dois lados de uma inequação por um número negativo, tem que inverter a desigualdade. Este sinal de maior se transforma em um sinal de menor porque estamos considerando que x + 2 é negativo. Esses se cancelam. Zero vezes qualquer coisa é zero, tem que x - 1 é menor que zero. Solucionando "x", somando 1 aos dois lados, "x" é menor que 1. No caso em que x + 2 é menor que zero, ou "x" é menor que -2, "x" tem que ser menor que 1. A gente sabe que se você diz que algo tem que ser menor que -2 e menor que 1, só de dizer que é menor que -2 já resolve. Qualquer coisa menor que -2 vai satisfazer isso aqui, mas não tudo o que satisfaz isso vai satisfazer aquilo. Essa é a única restrição com a qual precisamos nos preocupar. No caso onde x + 2 é menor que zero, podemos simplesmente dizer que "x" tem que ser menor que -2. O resultado, nosso resultado final, é "x" vai ser maior que 1 ou "x" vai ser menor que -2. De novo, posso colocar isso na reta numérica. "x" é maior que 1, bem aqui. Você tem 0, -1, -2 e tem "x" é menor que -2, sem incluir o -2. E pronto! Este é exatamente o mesmo resultado que tivemos aqui. A versão que você achar mais fácil, mas você pode ver que as duas têm alguns detalhes e tem que pensar um pouco sobre o que acontece quando multiplico ou divido por números positivos ou negativos.