Representação gráfica de funções racionais 4

RKA1MP Vamos fazer o gráfico de mais uma função racional para praticar. Digamos que a gente tenha "y" é igual a "x" sobre x² - x - 6. A primeira coisa que dá para fazer é fatorar esse denominador para poder identificar nossas assíntotas verticais, se houver. Quais são os dois números cujo produto dá -6 e cuja soma dá -1? Eles têm que ter sinais diferentes. Um vai ser positivo e um, vou escrever os meus "x" com um pouco mais de capricho, um vai ter sinal positivo e outro vai ter sinal negativo. 2 e 3 parecem bem próximos porque tem distância de 1 entre si. Vou subtrair o número maior porque vou ter um número negativo com o "x". "x - 3" vezes "x + 2", parece que funciona e dá -6. -3x mais 2x. -3 vezes "x", mais 2 vezes "x" é "-x", então funciona. É igual a "x" sobre "x" mais 2 vezes x - 3. E, como vimos no último vídeo, x + 2 não se cancela com nada no numerador. E x - 3 não cancela com nada no numerador. A gente sabe que pode ser usado para achar nossas assíntotas verticais. Assíntota vertical é quando qualquer um dos termos é igual a zero ou quando esse termo é igual a zero porque em qualquer desses pontos nossa equação é indefinida. Então, é igual a zero quando "x" é igual a -2 e é igual a zero quando "x" é igual a 3 positivo. E pode testar, se "x" é igual ao -2 ou 3, você vai ter zero no denominador e "y" será indefinido. A assíntota vertical em "x" é igual a -2. Tem uma assíntota vertical, bem aqui. Outra assíntota vertical é "x' é igual a 3. 1, 2, 3. Aí está a nossa outra assíntota vertical. Agora, a gente vai pensar sobre assíntotas horizontais e se tem alguma. O que acontece com a medida de "x" que vai ficando cada vez maior ou cada vez menor? Como a gente mencionou, só precisa olhar para o termo de grau mais alto no numerador e o termo de grau mais alto no denominador. Agora, perceba que o termo de grau mais alto no denominador é x², enquanto que o termo de grau mais alto no numerador é só "x". Quando "x" fica bem grande, o que vai acontecer? Dá para imaginar que vai ser como 1.000.000 sobre 1.000.000². Esses termos não tem muita importância, mas esse termo vai crescer mais rápido que qualquer outra coisa. Esse é um termo com "x²" e, à medida que "x" cresce, vai ser muito maior que tudo, incluindo esse termo em cima. Basicamente, essa razão tende a zero quando o denominador fica maior, mais rápido que o numerador, a razão tende a zero. Então, tem uma assíntota horizontal em "y" que é igual a zero. Eu poderia desenhar como uma reta pontilhada sobre o nosso eixo "x". Essa é a reta "y" igual a zero. Mais uma vez, identificamos olhando para o termo de maior grau. O denominador tem um termo de grau mais alto, então, vai crescer mais rápido que o numerador. Você pode tentar na sua calculadora e isso é verdadeiro se for na direção negativa ou na direção positiva. Isso vai crescer mais rápido que isso em cima. O denominador cresce mais rápido que o numerador. Portanto, tudo tenderá a zero. Você terá frações cada vez menores. Lembre-se, um décimo e, então, como "x" vai aumentando cada vez mais, o que vai acontecer? Vou mostrar na minha calculadora. Digamos que "x" é igual a 10. 10 dividido por 10², menos 10. E, normalmente, você não precisaria fazer isso, eu só quero mostrar a dica. Opa, não estou conseguindo fazer o gráfico. Deixa eu sair daqui. Se tem 10 sobre 10² menos 10, mais uma vez, não precisa fazer isso, eu só quero mostrar, dar uma dica. Vou colocar uns parênteses aqui. Vou colocar uns parênteses aqui. Uns parênteses ali. Parênteses aqui. Você acaba com um número pequeno, o que acontece se "x" ficar maior ainda? Em vez de 10, vou fazer tudo usando 100. Vou trocar esse 10 por 100. Coloco 100 aqui. E o que a gente tem? Tem um número menor ainda e, se experimentar "x" é igual a 1000, vai ser ainda menor. Isso porque esse termo está crescendo mais rápido do que qualquer outro termo. É por isso que nossa assíntota horizontal é 'y" igual a zero. Agora, a última coisa que queremos fazer depois de desenhar todas as assíntotas é testar alguns pontos. Melhor desenhar uma tabela. Essa é a nossa tabela. Quando "x" é igual a zero, quanto é "y"? "x" é zero e tem zero sobre tudo isso. Zero menos 6. Zero sobre -6 é zero. Quando "x" é igual a, sei lá, vamos tentar 1, temos o quê? Tem 1 sobre... 1, sobre 1² menos 1. Isso é zero, então, tem -6. Quando "x" é igual a -1? Quando "x" é igual a -1, temos -1 sobre -1², que é 1, menos -1. Daí, é +1 menos - 1, menos 6, quanto é isso aqui? É -1. E vai ser -1 sobre 2, -6 sobre -4. Vai ser igual a 1/4. Então, vamos ter um valor positivo. A gente tem -1 e estamos em 1/4 bem aqui. É por aqui, eu vou fazer uma cor mais escura. A gente tinha um ponto (0, 0) e, em "x" é igual a 1, a gente tinha -1/6. Dá para continuar desenhando mais pontos no gráfico, mas parece que, à medida que vamos nos aproximando desta assíntota vertical pela direita, a gente segue para o infinito positivo e deve fazer sentido. Vamos ver se colocamos em, estamos nos aproximando de -2 pela direita. Se colocasse -1,9999999 esse termo vai ser um número positivo bem pequeno. O termo vai ser um número negativo. Esse termo vai ser um número negativo. Os negativos se cancelam, você tem um número positivo bem pequeno no denominador, 1 sobre isso te dá um número positivo. Agora, à medida que nos aproximamos da outra assíntota vertical pela esquerda, estamos indo para o lado negativo. Minha intuição diz que quando tentamos "x" é igual a 1, já fui para um valor negativo, mas pode imaginar que, se usasse 2,99999, vou desenhar um pouquinho melhor. Você entendeu. Se "x" é igual a 2,999, então nos aproximamos da assíntota e esse vai ser positivo. Esse vai ser negativo e esse vai ser positivo. Já esse vai ser um número pequeno. Você vai ter 1 sobre o número negativo bem pequeno, o que é um número negativo. É o negativo de 1 sobre um número bem pequeno, então, vai chegar no infinito negativo. Agora, vamos tentar com um ponto para ver o que acontece. O que acontece quando "x" é igual a 4? Quando "x" é igual a 4, temos 4 sobre 16. menos 4, menos 6, quanto é isso? Isso é 16 menos 10, é 6. Então, é igual a 4/6 que é igual a 2/3. O ponto 4, 2/3, é aqui. Então, 1, 2, 3, 4, 2/3, assim. E isso me diz que tenho que me aproximar desta assíntota horizontal à medida que vou cada vez mais para fora. Provavelmente, vamos nos aproximar do infinito positivo desta forma. Vou desenhar um pouquinho melhor. Assim. E você entendeu, aqui a gente vai se aproximar cada vez mais da assíntota horizontal à medida que nos aproximamos do infinito. Essa deve ser uma curva mais suave, eu estou fazendo uma bagunça aqui. Isso deveria ser uma curva mais suave, acho que você já entendeu. Agora, vamos ver o que acontece quando "x" é igual a -3. Quando "x" é igual a -3, a gente tem -3 sobre -3², que é 9, menos -3, então, é +3, -6. Que é igual a quanto? É igual a -3 sobre, isso é 12 menos 6, sobre 6, certo? Que é igual a -1/2. Então, -3 -1/2, -1/2 é bem aqui. A gente vai se aproximar desta assíntota à medida que vamos para o lado negativo. Provavelmente, iremos diretamente para baixo à medida que nos aproximamos desta assíntota vertical. Dá para experimentar com mais pontos, se não acredita, mas vamos colocar no gráfico só para gente dar uma verificada. A nossa equação é "x" dividido por "x² menos "x", menos 6. "x" dividido por "x²", menos "x", menos 6. E vamos colocar no gráfico. E aí está. Aí está. Parece bom. Nossa assíntota é zero. Vamos para baixo, assíntota vertical bem para cima e vamos para baixo, daí para cá de novo. Mais uma vez, parece ser exatamente o que encontramos. É lógico que a calculadora gráfica vai terminando à medida que você chega perto desses valores e faz coisas estranhas, mas ela tem o mesmo formato geral. A gente poderia até fechar um pouco, se quisesse. Vamos fazer o nosso valor de "x" mínimo. Vamos usar 5. E vamos pegar o nosso valor de "x" máximo e usar 5 também. Estamos entrando aqui um pouquinho. Agora, é colocar no gráfico e aí está. Show de bola! É o mesmo formato que desenhamos aqui. Espero que tenha curtido.