Representação gráfica de funções racionais 1

RKA - Bem aqui eu tenho um gráfico de uma "f(x)". E o que eu quero pensar nesse vídeo é se poderíamos ter esboçado esse gráfico só de olhar para a definição da nossa função, que é definida por uma expressão racional. Nós temos "(2x + 10)/(5x - 15)". Existem algumas maneiras de se fazer isso. Primeiramente, você poderia querer escolher somente alguns números que fossem bem fáceis para calcular. Por exemplo, o que acontece quando "x = 0"? Nós podemos dizer que f(0) será igual a... bem, todos os termos "x" aqui serão zero, então, você ficará com 10/-15, que é -10/15, que é -2/3. Logo, nós podemos colocar isso no gráfico. Quando "x = 0", "f(x)" (ou "y", que é a mesma coisa que "f(x)") é -2/3. Então, nós temos esse ponto aqui (deixe-me colocar aqui com uma cor um pouquinho mais escura), você vê esse ponto bem aqui. Então, nós fomos capazes de marcar esse ponto. Nós também poderíamos dizer: quando essa função aqui é igual a zero? Bem, a função é igual a zero quando... a única maneira de ter essa função aqui é igual a zero, é se você tiver esse numerador aqui igual a zero, então, você pode tentar resolver a equação "2x + 10 = 0". Isso irá acontecer quando "2x" for igual a -10. Eu só subtraí 10 de ambos os lados; e, se dividirmos ambos os lados por 2, teremos -5. E você vê isso... bem, você vê isso bem aqui. Quando "x" é -5, a função intersecta o eixo "x". São somente dois pontos, mas ainda não nos dão informações suficientes para construirmos essa interessante curva aqui. Você poderia pensar sobre quais outras funções apresentam esse tipo de curva. Agora, o que eu quero saber é o comportamento dessa função em diferentes pontos. Primeiramente, eu quero pensar sobre quando essa função não pode ser definida, e que tipo de comportamento nós podemos esperar para essa função quando ela não está definida. Então, essa função não estará definida... a única maneira que eu encontro para tornar isso indefinido é se eu tiver o denominador igual a zero. Nós não sabíamos o que significa dividir por zero, isso é indefinido; logo, essa função não estará definida quando "5x"... (deixa eu escrever isso aqui em azul)... quando "5x - 15" for igual a zero. Ou, adicionando 15 aos dois lados, ou dividindo ambos os lados por 5, quando "x = 3". Nesse caso, dizemos que "f" é indefinida. Existem algumas maneiras para uma função não estar definida em um ponto. Você precisa ter algo como isso. Deixa eu desenhar os eixos aqui. E, vamos dizer que aqui é 3. Você poderia ter a sua função parecida como algo... com isso aqui; mas que não estivesse definida no 3; e, então, a função continuaria assim. Uma outra possibilidade é ter uma assíntota vertical aqui. Se isso tem uma assíntota vertical, o gráfico poderia parecer com algo assim; vai se aproximando, se aproximando... isso poderia ir para infinito seguindo para cima. E isso poderia vir do infinito, seguindo para baixo. Ou, também, poderia vir de baixo; isso poderia vir do infinito negativo conforme aqui. Isso aqui é o que se parece com uma assíntota vertical. Nós nos aproximamos pela esquerda, e o gráfico se aproxima dessa linha vertical, mas nunca chega a ser igual a 3. Eu acho que só existe uma maneira de podermos dizer isso. Na verdade, a função não está definida para "x = 3". Da mesma forma quando nos aproximamos pela direita; então, a função, nesse caso, desce. Ela quase se torna vertical. E isso está se aproximando de infinito negativo quando "x" se aproxima pela direita. Então, como saberíamos que forma a nossa função apresenta? Obviamente, quando olhamos para cá, nós conhecemos o gráfico. E se você diz: ok, isso é fácil; isso aqui é "x = 10"... então, vamos ver quanto é isso... um, dois, três, quatro, cinco... vale 2 cada 1... portanto, "x" vale 3. E, quando você tem um gráfico à sua frente, então, você pode dizer: bem, isso aqui é uma assíntota vertical, e essa assíntota vertical é uma assíntota que passa em "x = 3". Então, ela é assíntota em "x = 3". Vamos escrever isso aqui... (deixa eu só subir um pouquinho aqui para poder escrever)... então, isso aqui é uma assíntota vertical. E essa assíntota vertical, ela vai passar em "x = 3". Então, a nossa assíntota vertical está em "x = 3". Mas como você saberia disso? Como você teria conhecimento sobre isso se você não tivesse o gráfico aqui? E se você tivesse apenas essa função? Nós sabemos que essa função não está definida para "x = 3"; mas, ainda assim, como saberíamos que não é apenas um ponto de descontinuidade em vez de ser uma assíntota vertical? Há algumas maneiras de fazer isso. Uma maneira de fazer isso é que você poderia tentar valores próximos a 3. Então, vamos ver o que acontece quando nós pegamos a nossa calculadora e tentamos aqui, por exemplo, o número "3,01". Logo, vamos fazer "2‧(3,01) + 10". Isso aqui vai ser o nosso numerador. Agora, nós vamos dividir isso aqui pelo nosso denominador, que vai ser "5‧(3,01) - 15". Então, esse aqui é o nosso denominador. E ele retorna esse valor, que é um valor bastante grande. Isso poderia aumentar se nós fizéssemos com um número ainda mais próximo a 3. Então, por exemplo, se nós fizéssemos aqui "2‧(3,001) + 10"... isso aqui dividido por 5 vezes... agora, eu estou usando "3,001" no lugar de "x"... menos 15... e, então, nós observamos que nós temos um número ainda maior. Quanto mais próximo e próximo "x" estiver de 3, mais "f(x)" irá aumentar. Logo, essa é uma maneira de dizer: ok, parece que pelo menos desse lado nós estamos nos aproximando do infinito positivo. Então, poderíamos estar aptos a desenhar algo como isso. E você também poderia tentar valores abaixo de 3. Então, deixa eu só... deixa eu voltar aqui e colocar a última entrada... e vamos substituir aqui em cima por "2,999". E aqui também, "2,999". E nós teremos um número negativo bem grande. Agora nós estamos, realmente, indo para o negativo. Nós estamos nos aproximando do infinito negativo. Portanto, se você tentou dessa maneira, você tem uma bela indicação de que o gráfico é assim, algo desse tipo. E também parece conectar esses dois pontos aqui, dos quais já falamos anteriormente. Mas, agora, vamos ver o que está acontecendo quando "x" se aproxima de valores verdadeiramente grandes, positivos ou negativos. Parece que existe uma assíntota horizontal aqui. Somente olhando para o gráfico, parece que, quando "x" vai se aproximando de um número muito grande, valores positivos, "f(x)" se aproxima desse valor, nessa assíntota, aqui pela parte de cima; e, quando "x" se torna muito negativo, parece que a "f(x)" está se aproximando aqui pela parte de baixo. Mas como nós estaríamos aptos a assegurar isso somente olhando para essa função? Um possível experimento é: o que acontece com "f(x)" quando "x" se aproxima do infinito? Deixe-me escrever isso aqui embaixo: quando "x" se aproxima do infinito, então, "f(x)" se aproxima de quê? Conforme "x" se aproxima de valores maiores e maiores, o +10 positivo e o -15 começam a importar muito menos. Assim como o termo de maior grau, esse numerador aqui e esse denominador começam a dominar, logo, nós podemos dizer que, quando "x" se aproxima de infinito, "f(x)" fica mais perto e mais perto de "2x/5x", que é 2/5. Sendo assim, você poderia dizer que "f(x)" está se aproximando de 2/5. E, se você realmente quiser ver algo um pouquinho mais concreto, vamos imaginar diferentes valores para "x", como "x" sendo maior e maior e maior. E, então, se nós tivéssemos "x" aqui, e aqui "f(x)"; então, se "x" fosse 1, "f(x)" seria "(2 + 10)/(5 - 15)". E repara que o 10 e o 15 aqui importam bastante. Mas e se eu colocasse aqui 1.000? Então, aqui seria "(2.000 + 10)/(5.000 - 15)". E repara que aqui agora o 10 e o 15 já não fazem tanta diferença assim. Quem realmente vai fazer a diferença para o resultado é o 2.000 e o 5.000. Mas e se agora eu colocasse aqui um valor ainda maior? Vou colocar aqui o valor de 1.000.000... (vou colocar aqui de azul, que é para ficar dando um destaque melhor)... então, "2.000.000 + 10"... (deixa eu só puxar isso aqui um pouquinho para cá)... sobre "5.000.000 - 15" Então, "(2.000.000 + 10)/(5.000.000 - 15)". Aqui, o 10 e o 15 são quase que insignificantes, não fazem quase diferença nenhuma, não tem a menor consequência para a conta. Você pode imaginar o que aconteceria se "x" fosse 1.000.000.000 ou 1.000.000.000.000 ou 1 gugol? Então, isso, o +10 e o -15, começariam a importar muito, e muito, e muito menos. Portanto, quando "x" se aproxima de infinito, esses valores aqui passam a ter menos importância. Os termos de maior grau vão ser os que mais importam. Então, nesse caso, "f(x)" vai estar se aproximando de "2x/5x", que é a mesma coisa que 2/5. Então, assim, podemos dizer que "f(x)" está se aproximando de 2/5, e se parecerá com essa linha aqui. 2/5 é a mesma coisa que "0,4", logo "f(x)" está se aproximando aqui desse valor. "f(x)" vai se aproximando aqui de "0,4"; mas, repara, ela nunca toca em "0,4". Vai ficando bem perto, bem perto conforme se "x" vai tendendo ao infinito, mas não chega a encostar, porque você sempre terá esse +10 e esse -15 aqui. E, por isso, nunca será exatamente 2/5. E a mesma coisa está acontecendo quando "x" é mais e mais e mais negativo. Se aqui fosse -1, aqui seria -2, e aqui -5. Se aqui fosse -1.000, aqui seria -2.000, e aqui -5.000. Se aqui fosse -1.000.000, aqui seria -2.000.000, e aqui -5.000.000. Mas veja: nesse caso, "f(x)" está se aproximando de "2x/5x", que está se aproximando de 2/5. O que você poderia dizer é que está se aproximando de -2/-5, que ainda é 2/5. E você pode ver isso aqui. Portanto, poderíamos dizer que essa função tem uma assíntota horizontal. E onde ela estaria localizada? Estaria localizada aqui em "y"... em "y = 2/5". Espero que esse gráfico aqui ajude você a apreciar o que essas assíntotas vertical e horizontal realmente são. Mas, se você não tivesse o gráfico, nós poderíamos dizer: ok, nós não podemos definir essa função aqui em "x = 3". Nós poderíamos testar alguns valores próximos a 3 e nós diríamos: parece que nós estamos nos aproximando do infinito negativo quando "x" se aproxima de 3 pela esquerda. Da mesma forma, parece que nós estamos nos aproximando do infinito positivo quando "x" se aproxima de 3 pela direita. Então, nós podemos desenhar essas continuações azuis aqui; e nós também poderíamos desenhar esses dois pontos. Esse aqui aparece quando "f(x) = 0"; e, assim, desenhar essa assíntota horizontal. Seguindo isso tudo, teríamos um ótimo caminho para nos tornar aptos a esboçar esse gráfico. Espero que tenham gostado e até um próximo vídeo!