Somas parciais: valor do termo da soma parcial

RKA7MP - A enésima soma parcial da série para "n" igual a 1 até infinito de aₙ é dada por Sₙ, que é a soma dos "n" primeiros termos, é igual a n² mais 1, sobre "n" mais 1. O que a gente quer descobrir é qual é, de fato, o 7º termo, ou seja, qual o termo que aparece na posição 7? Como de costume, dê um pause e tente responder isto sozinho antes que a gente resolva juntos. Vamos lá! Uma maneira de a gente pensar nisto é que eu quero descobrir o 7º termo. Mas o que eu sei é calcular estas diferentes somas parciais. Então, como é que eu faria para relacionar este 7º termo com estas diferentes somas que eu sei calcular? Uma maneira de fazer isto, vamos escrever aqui, a₁ mais a₂, mais a₃, vamos escrever de forma aberta mesmo, todos os termos, mais a₄, mais a₅, mais a₆, mais a₇. Isto tudo o que eu escrevi aqui e isto aqui é o que eu chamo de a soma parcial dos 7 primeiros termos. Isto é o meu S₇. A soma parcial dos 7 primeiros termos. Mas se você reparar, se a gente tivesse somado aqui e tivesse parado no a₆, eu teria feito a soma parcial dos 6 primeiros termos. Então, isto a gente conhece como S₆. Repare o seguinte, quando eu faço a soma parcial dos 7 primeiros termos, eu tenho do a₁ mais a₂, mais a₃, mais a₄, mais a₅, mais a₆, mais a₇. E quando eu faço a soma parcial dos 6 primeiros termos, eu tenho a₁ mais a₂, mais a₃, mais a₄, mais a₅, mais a₆. A única coisa que tem de diferente nestas duas somas parciais é este carinha aqui. É o a₇ que aparece no S₇, mas não aparece no S₆. Então, se eu consigo calcular o S₇ e eu consigo calcular o S₆, o a₇ é a diferença entre eles. A gente pode escrever isto que eu acabei de falar de uma outra forma, vamos escrever a₇ vai ser igual a S₇ S₇ menos S₆. A gente pode dizer que o a₇ é a diferença entre o S₇ e o S₆. Mas você pode chegar a isto sem precisar escrever de forma extensa, da maneira que eu fiz. Meu objetivo era simplesmente apresentar para você de uma forma mais intuitiva. Mas e aí, quanto vai dar isto? O que a gente tem é, a gente vai ter que calcular S₇ e S₆. Eu sei calcular a soma parcial dos "n" primeiros termos. Eu sei como fazer isto. Quando a gente vai fazer S₇, é só trocar o "n" por 7. Vai ficar 7² mais 1, sobre 7 mais 1, menos, aqui a gente vai fazer S₆, é a mesma ideia, agora a gente vai trocar o "n" por 6, vai ficar 6² mais 1, sobre 6 mais 1. Então, resolvendo isto, 7² é 49, mais 1 dá 50. Então, aqui ficamos com 50. 7 mais 1, 8. Aqui temos 8. Do lado de cá a gente vai ter 6² é 36, mais 1 vai dar 37, e 6 mais 1 é 7. Para resolver isto, a gente tem a diferença de duas frações, vamos tentar colocar aqui. Primeiro, vamos tentar achar aquele famoso MMC, o mínimo múltiplo comum. E o mínimo múltiplo comum entre 8 e 7 é 56. Então, eu vou transformar isto em duas fraçõezinhas equivalentes, então, 56, menos, e aqui também 56. Aqui nós vamos ter o seguinte, eu quero uma fração equivalente, eu não quero mudar o resultado. Como aqui era 8 e virou 56, eu multipliquei por 7. Eu vou multiplicar o 50 também por 7. 50 vezes 7 dá 350. Aqui o resultado. Ponho o menos aqui, vamos fazer a mesma coisa, a mesma ideia, só que a gente vai ter 7, para virar 56, foi multiplicado por 8. Então, 7 vezes 8, 56. Aqui eu vou multiplicar o 37 por 8 também. Vai ficar 8 vezes 30, dá 240, 8 vezes 7 dá 56, isto vai 296. A gente pode chegar a um resultado que é o seguinte, o resultado vai ser 56, vai ser o denominador. Agora, os denominadores são iguais, é só a gente fazer a conta na parte de cima, vai ficar 350 menos 296. Então, 350 menos 296 vai dar 54. Repare que isto não é uma fração irredutível, são dois números pares, a gente pode simplificar, dividir estes dois números por 2. Quando eu divido 54 por 2 dá 27, e 56 por 2 dá 28. Agora sim, a gente tem uma fração irredutível, 27 só dá para dividir por 3 e 28 não dá para dividir por 3, então a gente consegue reduzi-la mais. O que seria o a₇? O a₇ seria a diferença entre o S₇ e S₆. A gente sabendo calcular somas parciais a gente conseguiu encontrar o 7º termo.