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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 18
Lição 6: Notação sigma (Avançado)- Progressões aritméticas em notação sigma
- Progressões aritméticas em notação sigma
- Séries geométricas em notação sigma
- Séries geométricas em notação sigma
- Resolução de séries usando a fórmula da soma de n quadrados
- Introdução a somas parciais
- Somas parciais: fórmula para o enésimo termo da soma parcial
- Somas parciais: valor do termo da soma parcial
- Introdução a somas parciais
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Somas parciais: valor do termo da soma parcial
A soma parcial de uma progressão resulta na soma dos n primeiros termos da progressão. Se soubermos a fórmula das somas parciais de uma progressão, podemos calcular o valor de qualquer termo da progressão.
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Transcrição de vídeo
RKA7MP - A enésima soma parcial da série
para "n" igual a 1 até infinito de aₙ é dada por Sₙ, que é a soma dos
"n" primeiros termos, é igual a n² mais 1, sobre "n" mais 1. O que a gente quer descobrir é qual é,
de fato, o 7º termo, ou seja, qual o termo que aparece
na posição 7? Como de costume, dê um pause e tente
responder isto sozinho antes que a gente resolva juntos. Vamos lá! Uma maneira
de a gente pensar nisto é que eu quero descobrir o 7º termo. Mas o que eu sei é calcular
estas diferentes somas parciais. Então, como é que eu faria para
relacionar este 7º termo com estas diferentes somas
que eu sei calcular? Uma maneira de fazer isto,
vamos escrever aqui, a₁ mais a₂, mais a₃, vamos escrever
de forma aberta mesmo, todos os termos, mais a₄, mais a₅, mais a₆, mais a₇. Isto tudo o que eu escrevi aqui
e isto aqui é o que eu chamo de a soma parcial dos
7 primeiros termos. Isto é o meu S₇.
A soma parcial dos 7 primeiros termos. Mas se você reparar, se a gente tivesse
somado aqui e tivesse parado no a₆, eu teria feito a soma parcial dos
6 primeiros termos. Então, isto a gente conhece como S₆. Repare o seguinte, quando eu faço
a soma parcial dos 7 primeiros termos, eu tenho do a₁ mais a₂, mais a₃, mais a₄,
mais a₅, mais a₆, mais a₇. E quando eu faço a soma parcial dos
6 primeiros termos, eu tenho a₁ mais a₂, mais a₃, mais a₄,
mais a₅, mais a₆. A única coisa que tem de diferente
nestas duas somas parciais é este carinha aqui. É o a₇ que aparece no S₇,
mas não aparece no S₆. Então, se eu consigo calcular o S₇
e eu consigo calcular o S₆, o a₇ é a diferença entre eles. A gente pode escrever isto que
eu acabei de falar de uma outra forma, vamos escrever a₇ vai ser igual a S₇ S₇ menos S₆. A gente pode dizer que o a₇ é a diferença
entre o S₇ e o S₆. Mas você pode chegar a isto
sem precisar escrever de forma extensa,
da maneira que eu fiz. Meu objetivo era simplesmente
apresentar para você de uma forma mais intuitiva. Mas e aí, quanto vai dar isto? O que a gente tem é, a gente vai ter que
calcular S₇ e S₆. Eu sei calcular a soma parcial dos
"n" primeiros termos. Eu sei como fazer isto. Quando a gente vai fazer S₇,
é só trocar o "n" por 7. Vai ficar 7² mais 1, sobre 7 mais 1, menos, aqui a gente vai fazer S₆,
é a mesma ideia, agora a gente vai trocar o "n" por 6, vai ficar 6² mais 1, sobre 6 mais 1. Então, resolvendo isto,
7² é 49, mais 1 dá 50. Então, aqui ficamos com 50. 7 mais 1, 8.
Aqui temos 8. Do lado de cá a gente vai ter 6² é 36,
mais 1 vai dar 37, e 6 mais 1 é 7. Para resolver isto, a gente tem
a diferença de duas frações, vamos tentar colocar aqui. Primeiro, vamos tentar achar
aquele famoso MMC, o mínimo múltiplo comum. E o mínimo múltiplo comum
entre 8 e 7 é 56. Então, eu vou transformar isto
em duas fraçõezinhas equivalentes, então, 56, menos, e aqui também 56. Aqui nós vamos ter o seguinte,
eu quero uma fração equivalente, eu não quero mudar o resultado. Como aqui era 8 e virou 56,
eu multipliquei por 7. Eu vou multiplicar o 50 também por 7. 50 vezes 7 dá 350.
Aqui o resultado. Ponho o menos aqui, vamos fazer
a mesma coisa, a mesma ideia, só que a gente vai ter 7, para virar 56,
foi multiplicado por 8. Então, 7 vezes 8, 56. Aqui eu vou multiplicar o 37 por 8 também. Vai ficar 8 vezes 30, dá 240, 8 vezes 7 dá 56, isto vai 296. A gente pode chegar a um resultado
que é o seguinte, o resultado vai ser 56,
vai ser o denominador. Agora, os denominadores são iguais, é só
a gente fazer a conta na parte de cima, vai ficar 350 menos 296. Então, 350 menos 296 vai dar 54. Repare que isto não é
uma fração irredutível, são dois números pares,
a gente pode simplificar, dividir estes dois números por 2. Quando eu divido 54 por 2 dá 27, e 56 por 2 dá 28. Agora sim, a gente tem
uma fração irredutível, 27 só dá para dividir por 3
e 28 não dá para dividir por 3, então a gente consegue reduzi-la mais. O que seria o a₇? O a₇ seria a diferença entre o S₇ e S₆. A gente sabendo calcular somas parciais a gente conseguiu encontrar o 7º termo.