Introdução a somas parciais

RKA1JV - Vamos dizer que a gente tem uma série infinita "S" que é igual ao somatório para "n" igual a 1, até infinito de aₙ. Só recordando, o que significa isso aqui? É a mesma coisa que a₁ mais a₂, mais a₃. E eu posso ficar fazendo isso aqui para sempre. Bom, mas o que eu quero introduzir para você aqui é o conceito de somatório parcial. Isso que a gente escreveu aqui é uma série infinita. Mas se eu quisesse escrever uma soma parcial, digamos S₆. O que essa notação quer dizer? Se eu tenho uma série infinita S, S₆ representa a soma parcial dos seis primeiros termos da nossa somatória S. Então, aqui a gente não vai ficar somando infinitamente isso. A gente vai fazer a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆. Eu vou parar no meu 6º termo, então, a soma dos seis primeiros termos da nossa série S. Mas acho que eu posso fazer isso aqui um pouco mais prático ainda para você pegar. Digamos que a gente tem aqui uma série infinita S que é igual ao somatório para "n = 1" até o infinito de 1 sobre n². Então, isso aqui é: quando "n" é igual 1, a gente 1 sobre 1², que vai dar 1, mais "n" igual 2, vamos ter 1 sobre 2², aqui dá 1/4. Mais "n" igual a 3, vamos ter 1 sobre 3². Isso vai dar 1/9 e a gente pode continuar fazendo isso aqui infinitamente. Para sempre. Agora, e se eu quiser fazer uma soma parcial? Digamos aqui, vou escrever de outra cor, que seria S₃, a soma parcial dos três primeiros termos. E aqui eu encorajo você a pausar este vídeo e tentar trabalhar nisso sozinho. Bom, isso aqui é igual aos três primeiros termos apenas. A gente vai somar 1, mais 1/4, mais 1/9, então S₃, nesse caso, a gente vai fazer a soma desses três termos aqui. Digamos que a gente ache aqui o MMC, já que é uma soma de frações. O MMC entre 4 e 9 é 36. Aqui como é 1, vai ser 36/36, então vou colocar 36 aqui. Aqui é 4, então aqui vai dar, 36 por 4, é 9, mais, obviamente, aqui 36 por 9 dá 4. Isso aqui tudo deu 36 mais 4, 49/36. Esse é o resultado de S₃. O objetivo principal desse vídeo é a gente discutir esse conceito de soma parcial. A gente vai ver também que dá para expressar uma soma parcial de maneira algébrica. Por exemplo, vamos tentar esclarecer isso aqui. Digamos que a gente tem uma série infinita S. E essa série infinita S é igual ao somatório para "m" igual a 1 até o infinito de aₙ. Além disso, que você saiba que a soma parcial Sₙ é igual a n² - 3 sobre o n³ + 4. Para a gente recordar aqui, vamos escrever que é Sₙ. Sₙ é a soma parcial até o enésimo termo, até o termo de posição "n". Então, isso aqui vai ser a₁ + a₂ + a₃... e a gente vai fazer isso só até chegar no termo de posição "n". Até o aₙ. E ele falou para a gente que isso aqui, nesse caso, é n² - 3 sobre o n³ + 4. Digamos que você encontre com alguém na rua e diga: "Olha, você conhece a notação de serie infinita, você conhece a notação de soma parcial, e aqui a gente tem isso aqui." Essa é que é a nossa série infinita e aqui ela até está escrita com os termos de forma geral. Mas "S" vai ser a nossa somatória para "n" igual a 1 até infinito de aₙ. Sabe também que a soma parcial Sₙ foi definida aqui dessa forma. Então, Sₙ, a soma parcial é n² - 3 sobre n³ + 4. E a pergunta é a seguinte: Quanto é, calcule para mim, o somatório para "n" igual a 1 até 6 de aₙ. Eu vou dizer para você pausar de novo o vídeo e tentar ver como que você se sai sozinho. Isso aqui vai ser o seguinte: como a gente está fazendo uma somatória parcial, a gente vai fazer a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆. Então, vou parar aqui no 6º termo já que a nossa somatória é uma soma parcial, vai até o 6ª termo. Mas isso aqui, a gente vai usar o quê? A gente vai usar a expressão que foi dada aqui para essa soma parcial. A gente sabe a expressão para Sₙ, e aqui a gente está indo até o "n" igual a 6. A gente vai até o sexto termo. Então, sei que isso aqui vai ser igual a S₆. Mas como eu calculo S₆? A gente vem aqui e troca S₆, vai ser, vamos trocar aqui onde apareceu 6 aqui, a gente vai colocar onde apareceu "n" aqui na nossa fórmula. A gente vai colocar 6, então vai ficar 6² - 3 sobre 6³ + 4. Isso aqui vai ficar: 6² é 36, menos 3 sobre 6³ é 36 vezes 6, 6 vezes 30 é 180, 6 vezes 6, 36, isso vai dar 216 mais 4. Portanto, isso vai dar 33/220. Esse é o resultado de S₆, esta é a soma parcial. E acabou! Acho que o ponto principal é a gente pegar essa notação de soma parcial e entender realmente o que ela significa.