Somas parciais: fórmula para o enésimo termo da soma parcial

RKA1JV - A soma parcial do nono termo da série somatório de "n" igual a 1 ao infinito "aₙ" é dada por: "S" igual a "n + 1" sobre "n +10". Escreva a regra para aₙ. Então, o somatório será a₁ + a₂ + a₃ +... até aₙ-₁ + aₙ. Isso tudo, nós iremos denominar como somatório de "n" que é igual a "n + 1" sobre "n + 10". Para identificar a regra de aₙ, temos que considerar o somatório de todos os termos até "n - 1". O somatório de "n -1" vai ser igual a "n - 1 + 1" sobre "n - 1 + 10". Que é igual a "n" sobre "n + 9". Com esses dois somatórios, nós podemos agora identificar a regra para aₙ. Então, aₙ será igual ao somatório de "n", menos o somatório de "n - 1". Substituindo pelos valores encontrados, nós temos que "n + 1" sobre "n + 10", menos "n" sobre "n + 9". Vou separar aqui em azul e vermelho para ficar fácil de identificar. O que nós temos que fazer agora é identificar o denominador comum. O denominador comum desses dois será "n + 10" vezes "n + 9". Então, "n + 10" vezes "n + 9", dividido por "n + 10" vai ser igual a "n + 1" vezes "n + 9" sobre "n + 10", vezes "n + 9". "n + 10" vezes "n + 9", dividido por "n + 9" vai ser igual a "n + 10" multiplicado por "n". É o mesmo que "n" vezes "n + 10" sobre "n + 9", vezes "n + 10". Agora, vamos juntar isso. Nós temos que o denominador é o mesmo valor e vamos juntar o numerador. Vamos simplificar isso aqui. "n + 1" vezes "n + 9" vai ser o mesmo que "n² + 10n + 9". E "n" vezes "n + 10" vai ser o mesmo que "n² + 10n". Com isso, nós temos que aₙ vai ser igual a, no denominador, nós vamos ter "n + 9" vezes "n + 10". No numerador, nós podemos cortar o "n²" já que está subtraindo aqui. Podemos também cortar o "10n", porque temos um positivo e um negativo. Resta apenas 9, então, a regra geral para "n" será 9 sobre "n + 9" vezes "n + 10".