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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 18
Lição 6: Notação sigma (Avançado)- Progressões aritméticas em notação sigma
- Progressões aritméticas em notação sigma
- Séries geométricas em notação sigma
- Séries geométricas em notação sigma
- Resolução de séries usando a fórmula da soma de n quadrados
- Introdução a somas parciais
- Somas parciais: fórmula para o enésimo termo da soma parcial
- Somas parciais: valor do termo da soma parcial
- Introdução a somas parciais
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Somas parciais: fórmula para o enésimo termo da soma parcial
A soma parcial de uma progressão resulta na soma dos n primeiros termos da progressão. Se soubermos a fórmula das somas parciais de uma progressão, poderemos encontrar uma fórmula para o enésimo termo da progressão.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - A soma parcial do
nono termo da série somatório de "n" igual a 1
ao infinito "aₙ" é dada por: "S" igual a "n + 1"
sobre "n +10". Escreva a regra para aₙ. Então, o somatório será
a₁ + a₂ + a₃ +... até aₙ-₁ + aₙ. Isso tudo, nós iremos denominar como somatório de "n" que é igual a
"n + 1" sobre "n + 10". Para identificar a regra de aₙ, temos que considerar o somatório
de todos os termos até "n - 1". O somatório de "n -1" vai ser igual a
"n - 1 + 1" sobre "n - 1 + 10". Que é igual a "n" sobre "n + 9". Com esses dois somatórios, nós podemos agora
identificar a regra para aₙ. Então, aₙ será igual ao somatório de "n", menos o somatório de "n - 1". Substituindo pelos valores encontrados, nós temos que "n + 1"
sobre "n + 10", menos "n" sobre "n + 9". Vou separar aqui em azul e vermelho
para ficar fácil de identificar. O que nós temos que fazer agora é identificar o denominador comum. O denominador comum desses dois será
"n + 10" vezes "n + 9". Então, "n + 10" vezes "n + 9",
dividido por "n + 10" vai ser igual a "n + 1" vezes "n + 9"
sobre "n + 10", vezes "n + 9". "n + 10" vezes "n + 9",
dividido por "n + 9" vai ser igual a "n + 10"
multiplicado por "n". É o mesmo que "n" vezes "n + 10"
sobre "n + 9", vezes "n + 10". Agora, vamos juntar isso. Nós temos que o denominador é o mesmo valor e
vamos juntar o numerador. Vamos simplificar isso aqui. "n + 1" vezes "n + 9"
vai ser o mesmo que "n² + 10n + 9". E "n" vezes "n + 10"
vai ser o mesmo que "n² + 10n". Com isso, nós temos que
aₙ vai ser igual a, no denominador, nós vamos ter "n + 9"
vezes "n + 10". No numerador, nós podemos cortar o "n²" já que está subtraindo aqui. Podemos também cortar o "10n", porque temos um positivo e um negativo. Resta apenas 9, então, a regra geral para "n" será
9 sobre "n + 9" vezes "n + 10".