Uso do raciocínio indutivo (exemplo 2)

RKA4JL - Quantos palitos de dente são necessários para formar a 50ª figura da sequência abaixo? Vamos analisar. Na figura um, nós temos um, dois, três, quatro, cinco, seis palitos de dente. Na figura dois podemos observar que temos a figura um aqui, um, dois, três, quatro, cinco, seis palitos de dente, mais... Acrescentamos alguns, acrescentamos um, dois, três, quatro, cinco palitos de dente e isso resulta em 11 palitos de dente na segunda figura. Para a terceira figura, podemos ver que aqui temos a segunda figura acrescida de outros cinco palitos de dente, um, dois, três, quatro, cinco. Isto tudo aqui já estava na figura anterior. Então, na figura três, nós teremos 11 palitos da figura anterior mais cinco palitos e isso resulta em 16 palitos para a figura três. Na figura quatro nós podemos observar, até aqui, a figura três e acrescentando a ela um, dois, três, quatro, cinco palitos. Então, na figura quatro tenho 16 mais 5 palitos, o que vai dar um total de 21 palitos. Queremos estabelecer um padrão geral e aqui nós podemos observar que o que está mudando de um termo para outro é este "mais 5". Vamos analisar um pouco mais aprofundadamente. Primeiro termo: 6 palitos. Segundo termo: 6 mais 5. Terceiro termo era o anterior mais 5. Na verdade, este 11 que temos aqui veio do termo anterior, que já era 6 mais 5, mais 5 de novo, ou seja, 6 mais 2 vezes 5. Aqui o 16 era o termo anterior, o 16 daqui, que era 6 mais 2 vezes 5, ou seja, 6 mais 5, mais 5 daqui, mais 5 novamente. Então 6 mais 3 vezes 5. Percebe o padrão? Voltando para cá, nós temos 6 mais 1 vez 5. Aqui nós temos 6 mais zero vez 5. Muito bem. Se olharmos com cuidado, nós podemos ver aqui o segundo termo, 1 vez 5. Terceiro termo, 2 vezes 5. Quarto termo, 3 vezes 5. Então, no termo “n”, no enésimo termo, o número de palitos vai ser igual a 6 (veja: sempre há o 6 em todos) adicionados de uma quantidade de "vezes 5". Essa quantidade de “vezes 5” é sempre uma unidade menor que o número do termo. Portanto, (n - 1) vezes 5 ("n" é o número do termo). Podemos verificar aqui, por exemplo. Colocando 4 na fórmula, aqui na expressão, 4 menos 1 dá 3, 3 vezes 5 dá 15, com mais 6, 21 palitos. Certinho. Podemos encontrar outras maneiras de escrever esta generalização. Poderíamos imaginar, por exemplo, o termo zero. O termo zero é o termo que teria só a parede esquerda da casa . Um palito só que seria a parede esquerda. Por quê? Veja que, quando vamos de um termo para o próximo, o que é a parede esquerda do próximo já foi contada no anterior. Aqui, a parede esquerda do último já foi contada no anterior. Bem, se eu olhar desta forma, o termo zero tem um palito e a partir daí nós vamos sempre adicionando cinco palitos para os próximos termos. Neste caso, pensando no termo "n", no enésimo termo, o número de palitos seria 1, que é a quantidade de palitos do termo zero, mais... Ora, veja só: para o primeiro termo, para o termo 1, melhor dizendo, eu adiciono 5 palitos. Para o termo dois, a partir do zero, eu adiciono 10, que é 5 vezes 2, e assim por diante. Então, desta maneira, eu teria 1 mais cinco vezes o número do termo para a quantidade de palitos. Veja que funciona: coloque 2 lugar do “n”. 2 vezes 5, 10, mais 1, 11. 11 palitos no termo dois. Coloquei zero no lugar do “n”: zero vez 5, zero, mais 1, 1. 1 palito no termo zero. Vamos responder à pergunta. A pergunta é: quantos palitos precisamos para formar a figura número 50? Bem, é só colocar 50 no lugar do “n” aqui, e na 50ª figura o número de palitos vai ser 1 mais 5 vezes 50. 5 vezes 50, 250, mais 1, 251 palitos. Naturalmente, o mesmo resultado seria encontrado se fizéssemos esta conta: 50 menos 1, 49, 49 vezes 5 são 245, com mais 6, 251 palitos. Tinha de dar o mesmo resultado e algebricamente nós podemos comprovar isso simplesmente arrumando essa expressão, que seria equivalente a 6 mais… Vamos distribuir a multiplicação do 5 aqui: 5n menos 5. Simplificando, agrupando 6 menos 5 fica 1 mais 5n, que é exatamente o que nós tínhamos aqui. Problema resolvido. Até o próximo vídeo!