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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 18
Lição 4: Séries geométricas finitas- Introdução às séries geométricas
- Progressões geométricas com notação sigma
- Fórmula das séries geométricas finitas
- Exemplo prático: séries geométricas finitas (notação sigma)
- Exemplos práticos: séries geométricas finitas
- Séries geométricas finitas
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Exemplo prático: séries geométricas finitas (notação sigma)
Neste vídeo, calculamos a série geométrica Σ2(3ᵏ) para k=0 a 99, usando a fórmula da série geométrica finita, a(1-rⁿ)/(1-r).
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Nós temos uma questão
que é a soma de alguns termos onde nós vamos verificar qual a característica
desses termos para fazermos essa soma. Então, o primeiro termo, quando k for zero,
nós temos 2 vezes 3 elevado a zero. O segundo termo será 2 vezes 3¹. O terceiro termo será 2 vezes 3² e assim sucessivamente,
até chegarmos no termo 2 vezes 3⁹⁹. Verificamos que 3⁰ é 1, portanto nosso primeiro termo dessa soma é 2 mais... o segundo termo essa soma é 2 vezes 3, o terceiro termo essa soma é 2 vezes 3 vezes 3,
é 2 vezes 3², e assim sucessivamente
até 2 vezes 3⁹⁹. Então dá para a gente notar que essa é uma soma
dos termos de uma progressão geométrica finita onde o primeiro termo que nós vamos chamar de a₁ é 2, o segundo termo é multiplicado por 3,
o terceiro termo é o segundo multiplicado por 3, ou seja, nossa razão é igual a 3. Então vemos que é a soma de
uma progressão geométrica finita. Basta agora sabermos o número de termos. Às vezes é difícil nós vermos porque
ele começa a contar do zero, não começa a contar do 1. Portanto esse é o primeiro termo quando 3 está sendo elevado a zero, esse é o segundo termo
quando 3 está sendo elevado a 1 e esse é o terceiro termo quando 3 está sendo elevado a 2, ou seja, esse será o centésimo termo. Então temos n igual a 100. E qual é a expressão geral da
soma dos termos de uma "P. G." finita? Será Sₙ igual ao primeiro termo vezes a razão elevada a (n menos 1) sobre (a razão menos 1). Substituindo, nós temos que o primeiro termo é 2, a razão é 3 elevado a n, que é 100 (o número de termos é 100, e não 99), menos 1 sobre a razão, que é 3, menos 1. Sabemos que 3 menos 1 é 2,
2 dividido por 2 dá 1. Portanto a soma dos 100 primeiros termos será 3¹⁰⁰ menos 1. Então essa é a nossa resposta final.