Exemplo prático: séries geométricas finitas (notação sigma)

RKA4JL - Nós temos uma questão que é a soma de alguns termos onde nós vamos verificar qual a característica desses termos para fazermos essa soma. Então, o primeiro termo, quando k for zero, nós temos 2 vezes 3 elevado a zero. O segundo termo será 2 vezes 3¹. O terceiro termo será 2 vezes 3² e assim sucessivamente, até chegarmos no termo 2 vezes 3⁹⁹. Verificamos que 3⁰ é 1, portanto nosso primeiro termo dessa soma é 2 mais... o segundo termo essa soma é 2 vezes 3, o terceiro termo essa soma é 2 vezes 3 vezes 3, é 2 vezes 3², e assim sucessivamente até 2 vezes 3⁹⁹. Então dá para a gente notar que essa é uma soma dos termos de uma progressão geométrica finita onde o primeiro termo que nós vamos chamar de a₁ é 2, o segundo termo é multiplicado por 3, o terceiro termo é o segundo multiplicado por 3, ou seja, nossa razão é igual a 3. Então vemos que é a soma de uma progressão geométrica finita. Basta agora sabermos o número de termos. Às vezes é difícil nós vermos porque ele começa a contar do zero, não começa a contar do 1. Portanto esse é o primeiro termo quando 3 está sendo elevado a zero, esse é o segundo termo quando 3 está sendo elevado a 1 e esse é o terceiro termo quando 3 está sendo elevado a 2, ou seja, esse será o centésimo termo. Então temos n igual a 100. E qual é a expressão geral da soma dos termos de uma "P. G." finita? Será Sₙ igual ao primeiro termo vezes a razão elevada a (n menos 1) sobre (a razão menos 1). Substituindo, nós temos que o primeiro termo é 2, a razão é 3 elevado a n, que é 100 (o número de termos é 100, e não 99), menos 1 sobre a razão, que é 3, menos 1. Sabemos que 3 menos 1 é 2, 2 dividido por 2 dá 1. Portanto a soma dos 100 primeiros termos será 3¹⁰⁰ menos 1. Então essa é a nossa resposta final.