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Introdução às progressões geométricas (avançado)

Neste vídeo, apresentamos progressões geométricas e damos alguns exemplos. A notação usada neste vídeo é relativamente avançada. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G Vamos falar um pouco sobre as progressões geométricas. Progressões geométricas, também conhecidas como sequências geométricas, são definidas por um termo inicial (vamos chamar de "a") e, a partir do segundo termo, multiplicamos o primeiro sempre pelo mesmo número (vamos chamar esse número de "razão") para obter o próximo. Tendo "a" como primeiro termo, o próximo termo, se eu multiplicar por um número que eu vou chamar de "q", eu vou ter "a" vezes "q". Se eu multiplicar o segundo termo pelo mesmo número "q", que é a razão, eu vou ter "a" multiplicado por q². Para o terceiro termo, "a" multiplicado por q³, etc. Infinitamente, falando-se de uma progressão geométrica infinita. Nós podemos definir o termo geral dessa progressão geométrica de duas maneiras. Uma delas é a maneira explícita, em que nós colocamos aqui aₙ para representar um termo qualquer, com "n" indo de 1 a infinito, com aₙ igual ao primeiro termo, que é "a", multiplicado por "q" elevado a "n" menos 1. Por exemplo, se eu estiver falando do segundo termo, "n" é 2. 2 - 1 dá 1 e eu vou ter "a" vezes "q", que é o segundo termo. Para o terceiro termo, o expoente de "q" é 2, você percebe aqui. E assim por diante. Também podemos definir a mesma sequência recursivamente para um termo aₙ com "n" de 1 a infinito, com o primeiro termo, a₁, definido por "a", que eu já coloquei aqui, e um termo qualquer sendo definido pelo termo anterior (por isso, "a" - 1), multiplicado pelo número chamado razão. Isso válido para "n" maior que, ou igual, a 2. Ou seja, a partir do segundo termo é que se define desta forma. Vamos olhar para um exemplo de progressão geométrica ou de sequência geométrica. Vamos definir aₙ, com "n" indo de 1 a infinito, com aₙ igual a: o primeiro termo vamos colocar 20 e a razão vamos colocar 1/2. Então, 20 multiplicado por (1/2)ⁿ⁻¹ é o termo geral desta progressão geométrica. Escrevendo os termos, nós teríamos: o primeiro termo é 20, o segundo termo é 20 multiplicado por 1/2 (20 vezes 1/2 dá 10), o terceiro termo é 10 multiplicado por 1/2 (10 vezes 1/2 dá 5), o próximo vai ser 5 multiplicado por 1/2, que são 5/2, o próximo vai ser 5/2 multiplicado por 1/2, que será 5/4 e assim continua infinitamente. Vamos tomar uma outra sequência e decidir se ela é ou não uma progressão geométrica. A sequência começa com 1 e depois temos o 2, em seguida, o 6, o próximo é o 24, depois temos o 120 e ela continua infinitamente. Será uma progressão geométrica? Será uma sequência geométrica? Para isso nós precisamos verificar o que acontece na passagem de um termo para o próximo. De 1 para 2, multiplicamos por 2. De 2 para 6, multiplicamos por 3. De 6 para 24, multiplicamos por 4. De 24 para 120, multiplicamos por 5 e assim sucessivamente. Não é, então, uma progressão geométrica, porque de um termo para o próximo nós não multiplicamos sempre pelo mesmo valor. Vamos estudar um pouco mais detalhadamente o que nós temos aqui com esta sequência. Suponhamos que o primeiro termo não seja 1, seja "a". O próximo termo vai ser 2 vezes "a". Multiplicamos por 2. O próximo termo vai ser 3 vezes o segundo termo, que era 2 vezes "a". Vai ser 3 vezes 2 vezes "a". O próximo termo vai ser 4 vezes 3 vezes 2 vezes "a". O próximo vai ser 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes "a" e assim infinitamente. Vamos definir os termos desta sequência explicitamente, mas vamos primeiro observar o seguinte: temos aqui o número 1 como primeiro termo, o 2 seria 2 vezes 1, o 6 seria 3 vezes 2 vezes 1, o 24, 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1 e assim por diante. Se você observar, aqui temos um fatorial. Vamos escrever explicitamente os termos desta sequência. Seriam os termos aₙ, com "n" indo de 1 até infinito, com aₙ igual, se você observar, o segundo termo é 2 fatorial, o terceiro termo é 3 fatorial e assim por diante. Então, aₙ é igual a "n" fatorial. Esta é a maneira explícita de definir os termos desta progressão. Desta sequência, melhor dizendo, que não é uma progressão geométrica. Desta forma, definimos muito bem os termos desta sequência. Vamos agora também definir recursivamente os termos desta sequência. Estamos falando dos termos aₙ, com "n" de 1 a infinito, com o primeiro termo, a₁, valendo, neste caso, 1 e o próximo termo, ou um termo qualquer, aₙ, é o anterior multiplicado por "n". Veja só: o segundo termo, a₂, é a₁ multiplicado por 2. O terceiro termo é o anterior multiplicado por 3 e assim por diante. Esta é uma outra maneira válida de definir os termos desta sequência. Por enquanto é isso. Espero que você tenha aproveitado bastante e até o próximo vídeo!