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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 18
Lição 3: Progressões geométricas- Introdução às progressões geométricas
- Introdução às progressões geométricas (avançado)
- Estenda progressões geométricas
- Use fórmulas de progressão geométrica
- Fórmulas explícitas e recursivas para progressões geométricas
- Fórmulas explícitas para progressões geométricas
- Como converter formas recursivas e explícitas de progressões aritméticas
- Fórmulas recursivas para progressões geométricas
- Problemas com progressões
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Introdução às progressões geométricas (avançado)
Neste vídeo, apresentamos progressões geométricas e damos alguns exemplos. A notação usada neste vídeo é relativamente avançada. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2G Vamos falar um pouco
sobre as progressões geométricas. Progressões geométricas, também conhecidas
como sequências geométricas, são definidas por um termo inicial
(vamos chamar de "a") e, a partir do segundo termo, multiplicamos
o primeiro sempre pelo mesmo número (vamos chamar esse número de "razão")
para obter o próximo. Tendo "a" como primeiro termo, o próximo termo,
se eu multiplicar por um número que eu vou chamar de "q", eu vou ter "a" vezes "q". Se eu multiplicar o segundo termo
pelo mesmo número "q", que é a razão, eu vou ter "a" multiplicado por q². Para o terceiro termo, "a" multiplicado
por q³, etc. Infinitamente, falando-se
de uma progressão geométrica infinita. Nós podemos definir o termo geral dessa progressão geométrica de duas maneiras. Uma delas é a maneira explícita, em que nós colocamos aqui aₙ para
representar um termo qualquer, com "n" indo de 1 a infinito, com aₙ igual ao primeiro termo, que é "a", multiplicado por "q" elevado a "n" menos 1. Por exemplo, se eu estiver falando
do segundo termo, "n" é 2. 2 - 1 dá 1 e eu vou ter "a" vezes "q",
que é o segundo termo. Para o terceiro termo, o expoente de "q"
é 2, você percebe aqui. E assim por diante. Também podemos definir
a mesma sequência recursivamente para um termo aₙ com "n" de 1 a infinito, com o primeiro termo, a₁, definido por "a",
que eu já coloquei aqui, e um termo qualquer sendo definido
pelo termo anterior (por isso, "a" - 1), multiplicado pelo número chamado razão. Isso válido para "n" maior que, ou igual, a 2. Ou seja, a partir do segundo termo
é que se define desta forma. Vamos olhar para um exemplo de progressão geométrica ou de sequência geométrica. Vamos definir aₙ, com "n" indo de 1 a infinito, com aₙ igual a: o primeiro termo vamos colocar 20
e a razão vamos colocar 1/2. Então, 20 multiplicado por (1/2)ⁿ⁻¹ é o termo geral
desta progressão geométrica. Escrevendo os termos, nós teríamos:
o primeiro termo é 20, o segundo termo é 20 multiplicado por 1/2
(20 vezes 1/2 dá 10), o terceiro termo é 10 multiplicado por 1/2
(10 vezes 1/2 dá 5), o próximo vai ser 5 multiplicado por 1/2, que são 5/2, o próximo vai ser 5/2 multiplicado por 1/2, que será 5/4 e assim continua infinitamente. Vamos tomar uma outra sequência e decidir
se ela é ou não uma progressão geométrica. A sequência começa com 1 e depois temos o 2, em seguida, o 6, o próximo é o 24, depois temos o 120 e ela continua infinitamente. Será uma progressão geométrica?
Será uma sequência geométrica? Para isso nós precisamos verificar o que acontece
na passagem de um termo para o próximo. De 1 para 2, multiplicamos por 2. De 2 para 6, multiplicamos por 3. De 6 para 24, multiplicamos por 4. De 24 para 120, multiplicamos por 5
e assim sucessivamente. Não é, então, uma progressão geométrica, porque de um termo para o próximo nós
não multiplicamos sempre pelo mesmo valor. Vamos estudar um pouco mais detalhadamente
o que nós temos aqui com esta sequência. Suponhamos que o primeiro termo não seja 1, seja "a". O próximo termo vai ser 2 vezes "a".
Multiplicamos por 2. O próximo termo vai ser 3 vezes
o segundo termo, que era 2 vezes "a". Vai ser 3 vezes 2 vezes "a". O próximo termo vai ser 4 vezes 3 vezes 2 vezes "a". O próximo vai ser 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes "a" e assim infinitamente. Vamos definir os termos
desta sequência explicitamente, mas vamos primeiro observar o seguinte:
temos aqui o número 1 como primeiro termo, o 2 seria 2 vezes 1, o 6 seria 3 vezes 2 vezes 1, o 24, 4 vezes 3, vezes 2, vezes 1 e assim por diante. Se você observar, aqui temos um fatorial. Vamos escrever explicitamente
os termos desta sequência. Seriam os termos aₙ, com "n" indo de 1 até infinito, com aₙ igual, se você observar, o segundo termo é 2 fatorial, o terceiro termo
é 3 fatorial e assim por diante. Então, aₙ é igual a "n" fatorial. Esta é a maneira explícita de definir
os termos desta progressão. Desta sequência, melhor dizendo,
que não é uma progressão geométrica. Desta forma, definimos muito bem
os termos desta sequência. Vamos agora também definir recursivamente
os termos desta sequência. Estamos falando dos termos aₙ, com "n" de 1 a infinito, com o primeiro termo, a₁, valendo, neste caso, 1 e o próximo termo, ou um termo qualquer,
aₙ, é o anterior multiplicado por "n". Veja só:
o segundo termo, a₂, é a₁ multiplicado por 2. O terceiro termo é o anterior multiplicado
por 3 e assim por diante. Esta é uma outra maneira válida
de definir os termos desta sequência. Por enquanto é isso. Espero que você tenha aproveitado
bastante e até o próximo vídeo!