If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:9:23

Demonstração da fórmula da série aritmética finita por indução

Transcrição de vídeo

vamos considerar a função sdn que é o resultado da soma de todos os íntegros positivos positivos de 1 até o enem incluindo o n por exemplo estamos falando aqui de s de 31 igual a um mais dois mais três que daria 6 o sd 4 seria um mais dois mais três e mais quatro que dá 10 e assim por diante o que nós queremos provar aqui neste vídeo é que para um certo eniceu somar um mas dois mais três até o n inteiro positivo o resultado vai ser o n multiplicado pelo n mais um e tudo isso dividido por dois e para provar esta afirmação nós vamos usar a indução matemática indução para usar a indução nós precisamos em primeiro lugar definir uma base de indução que chamamos de base de indução e depois propriamente nós vamos usar a hipótese didos indução hipótese de indução para poder desenvolver a demonstração à base de indução significa provar que esta ideia é válida para um valor inicial nós vamos considerar aqui o 1 poderia ser 50 poderia ser qualquer outro número mas como aqui estamos falando de números em termos positivos iniciando portanto em um vamos pegar o primeiro deles que é um depois nós vamos usar a hipótese de indução o que significa a hipótese de indução para depois fazer uma passagem produção significa assumir assumir que esta festa soma o sdk é válido é verdadeiro e provar provar que o s dk mais 1 aplicada cá mais um é verdadeiro fazendo isso conseguindo isso nós conseguimos provar por indução que esta fórmula é verdadeira para a soma dos n primeiros números inteiros positivos traduzindo um pouco a ideia vamos pensar o seguinte temos los inteiros positivos um dois três quatro cinco e assim por diante a primeira coisa a base de indução nós vamos comprovar que a proposta que está aqui nesta fórmula é válida para 1 provamos para um choque no momento da hipótese de indução nós vamos verificar que se é válido supondo que seja válido para um certo kaká que nesse momento seria um conseguindo provar que vale para o ca mais um então se vale pro um vale por dois ora valendo para os dois vai provocar mais um que seriam três se vale para 3 valer para o quatro e assim infinitamente vamos então mostrar aqui a base de indução vamos verificar quanto o s de 1s de um é um em ponto não tem mais nenhum outro número inteiro até o próprio um então sd1 já sabemos que pela definição da função vale 1 vamos mostrar que a fórmula que é válida para sd1 vejamos no lugar do n colocando um nós teríamos um fez um mais um tudo sobre 21 mais 12 que cancelando com 2 dá um quer dizer que realmente esta fórmula vale quando colocamos um lugar do n à base de indução está demonstrada agora nós vamos usar a hipótese de indução vamos ver que se é se isso assumindo que o sdk é válido é verdadeiro essa fórmula sendo válida para um certo valor de n nós vamos ter que mostrar que ela também vale a partir dali para um cara mais um vamos então assumir que aquela fórmula é verdadeira para um certo valor de n que eu vou chamar de cá estamos assumindo que a fórmula é verdadeira para cá ou seja sdk é igual à cave e risca mais um estudo sobre dois e vamos ter que pensar um pouco sobre o que vai acontecer se tivermos em vez de cá cá mais 1 ou seja o que vai acontecer com s dk mais um o sdk mais um significa pegar os números pela definição da função um mais dois mais três mais quatro mas cá a mais cara mais um todos os números inteiros somando até quem o cara mais um antes do carro mas não temos o carro vamos interpretar um pouquinho que está acontecendo aqui se você analisar este pedaço esta parcela estas parcelas dessa soma o que temos a soma de 1 até cá é exatamente o que temos aqui em cima então isto aqui é igual a ca vezes cá mais um sobre dois isso nós já estamos admitindo que seja verdadeiro porque partimos da base de indução ainda temos que a isto a adicionar o ca mais um estou escrevendo mas o cara mais um bem agora vamos manipular algebricamente para ver o que temos tínhamos aqui então cá cá mais um sobre dois mais vamos achar o mmc que é 2 e fazendo ajuste multiplicando o numerador e denominador por dois fica 2k mais um sobre dois na próxima passagem nós vamos ter continuando aqui uma única fração sobre dois tudo aquele numerador kaká mais um mais dois a mais um tudo sobre dois se você observar com algum cuidado é possível colocar o cara mais um em evidência faturando essa expressão nós teríamos então aqui colocando o fator k mais um em evidência nós vamos ter ele multiplicando por cac do primeiro mais dois tudo isso sobre dois para destacar vamos lembrar este dois é este 2 e este cá é este cá reescrevendo aqui isso fica sendo igual então a ficar mais um vezes o cara mais dois eu vou transformar em casa mais um depois mais um ok só com mais dois sobre dois o que temos de interessante aqui ora você pode observar que queríamos o sdk mais um estávamos assumindo que esta expressão era verdadeira e de fato se eu trocar o ca pelo ca mais um nesta expressão aqui o ca transforma-se encarar mais um aqui e oka mais um antes era kaká mais um este caso tem que vir a marcar mais um ele está aqui e mais 1 ou seja acabamos de provar que o sdk mais um é válido de acordo com esta fórmula 1 então se vale para cá genericamente generalizando vale também para cá mais um estamos comprovando que é verdade então vale para qualquer n nós demonstramos nós mostramos que a base de instrução estava correta essa fórmula valia para um certo valor inicial que foi um e depois acabamos de provar que ela vale assumindo que ela vale para um certo cá soma de todos inteiros de 1 até cá incluindo ela também vale para o ca mais um quando nós fizemos todo esse trabalho aqui então estamos prontos a prova por indução funciona desta maneira voltando para os números veja apercebemos fizemos as contas e verificamos que funciona para um bem assumindo funciona para o já sabemos que é verdade fizemos as contas e vimos que funciona para o próximo inteiro que é para os dois bem se funciona para o 2 é funcionar para o ca mais um para o 3o próximo inteiro funciona para 3 funciona para 4 funciona para os 5 e assim infinitamente desta forma então funciona para todos os inteiros espero ter ajudado você com a demonstração por indução até o próximo vídeo