Problema de séries geométricas infinitas: dízima periódica

RKA4JL - Vamos estudar um pouco as dízimas periódicas. Vamos olhar, por exemplo, para este número, 0,4008, de modo que o 4008 após a vírgula, à direita da vírgula, se repita infinitamente. Isso quer dizer: falar do 0,4008 4008 4008 infinitamente. A ideia é escrever esse número como uma série geométrica infinita. Como eu posso fazer isso? Vamos analisar um pouquinho a formação deste número decimal. Vamos analisar separadamente cada vez que 4008 se repete, escrevendo este número como uma soma de vários termos. Devido à regularidade que existe, vamos separar, por exemplo, este como o primeiro termo, ou seja, eu teria 0,4008 adicionado a... Vamos pegar agora esta segunda parte. Esta segunda parte, na verdade, quer dizer 0,00004008. Estou falando, na verdade, 0,00004008 para falar só deste pedaço. O próximo seria, então, este aqui, que eu vou adicionar. Seria, então, 0,0000, referente às quatro primeiras casas, outros quatro "zeros" na próxima, e o 4008. E assim essa soma prossegue infinitamente. Esta é uma maneira de escrever o mesmo número que está aqui em cima. Percebendo bem, de um termo para o próximo eu estou deslocando os algarismos quatro casas à direita, ou seja, daqui para cá eu estou multiplicando este número por 10⁻⁴, ou seja, 0,0001. Daqui para cá, estou novamente deslocando quatro casas à direita os algarismos, então estou novamente multiplicando por 10⁻⁴, que é 0,0001. E assim para o próximo, e assim para o próximo, de maneira que enxergando esta soma como uma série geométrica, a razão é o 10⁻⁴. Eu posso, então, reescrever aqui, de maneira geral, 0,4008, primeiro aqui multiplicado por 10⁻⁴ elevado a zero, pois é o primeiro termo. Mais... este segundo termo é o resultado do primeiro, que é o 0,4008, multiplicado pelo 10⁻⁴. Nós podemos colocar aqui elevado a primeira potência. Agora, a próxima parte: mais este termo em verde, que é o anterior, que é o 0,4008 vezes 10⁻⁴ , vezes 10⁻⁴ de novo. Portanto, vezes 10⁻⁴ elevado à segunda potência. E essa soma segue esse padrão infinitamente. Resumindo, o 0,4008 com a barra é o 0,4008 etc., que é igual ao resultado dessa soma infinita, que é igual ao resultado desta outra soma infinita, que pode ser escrita como uma somatória dos termos formados por 0,4008 multiplicados por 10⁻⁴ elevado a um certo expoente, que é quem vai sendo incrementado de um termo para o outro, que eu vou chamar de K. E nesta soma, o K vai de zero, que é o primeiro termo, até infinito, porque esta soma é infinita. Temos aqui, então, uma série geométrica infinita. Nosso objetivo agora é reescrever isso como uma fração. Isso é perfeitamente possível. Eu sugiro que você pause o vídeo, pense no que você sabe sobre a soma de uma série geométrica infinita convergente, e tente escrever este resultado na forma de uma fração. É hora de um lembrete: a soma de uma série geométrica infinita convergente, ou seja, a somatória quando K vai de zero até o infinito de um certo termo multiplicado pela razão elevado ao expoente K, é igual ao primeiro termo, que indicamos por “a”, dividido por 1 menos a razão. Vamos trazer para cá, então. Neste caso, esta somatória seria igual a... ao primeiro termo, que é 0,4008 dividido por 1 menos a razão. A razão é o 10⁻⁴, que está aqui. Então, 10⁻⁴ para a razão. O 10⁻⁴ é, na verdade, 1 sobre 10 mil. Isto vai ser igual a 0,4008 sobre 1 menos 1 sobre 10 mil. Esse 1 inteiro aqui, na verdade, eu posso enxergar como 10 mil sobre 10 mil. Isso é um inteiro. -1 sobre 10 mil resulta em 9.999 sobre 10 mil. Veja: 10 mil menos 1. 9.999. Continuando a conta. Divisão de frações: eu mantenho a primeira e multiplico pelo inverso da segunda. Vamos lá. Então continuando aqui, eu vou ter 0,4008 multiplicado pelo inverso da segunda, então o 10 mil sobre 9.999. Continuando o cálculo e multiplicando o numerador por numerador, 0,4008 vezes 10 mil, basta deslocar os algarismos quatro casas para a esquerda, que vai dar exatamente 4.008, o que nós já tínhamos. 4.008 dividido por, ou sobre, 9.999. Pronto. Se você observar, aquela somatória toda foi transformada em uma fração. Essa fração pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador por 3. Nós chegaríamos a 1.336 dividido por 3.333, ou seja, aquela dízima periódica 0,400840084008 é equivalente à fração 1.336 sobre 3.333. Se você dividir 1.336 por 3.333, vai ter como resultado esta dízima periódica, que nós já tínhamos aqui no começo. Em resumo, uma dízima periódica como esta pode ser escrita como uma série infinita, melhor ainda, como uma série geométrica infinita, que é esta soma que nós temos aqui, e usando a fórmula conhecida para uma série geométrica infinita convergente, nós chegamos à forma fracionária daquela dízima periódica. Bem, por hora, o trabalho é este. Estude bastante, pratique, refaça esta ideia. Até o próximo vídeo!