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Prova da série geométrica infinita como um limite

Neste vídeo, aplicamos limites à fórmula para a soma de uma série geométrica finita para obter a soma de uma série geométrica infinita. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar blobby green style do usuário Josenildo Silva
    Excelente material, muito interessante. Parabéns pelo trabalho! Eu preciso de uma ajuda pequena mas importante para mim sobre uma série com os seguintes dados:
    I have one series formed with that numbers representing numbers with two bit sets in your binary representations:
    [3,5,6,9,10,17,18,20,24,33,34,36,40...] and I observed that starting at your 4th element the development
    for that series is(^ simbol is power):
    9 = 2^0 + 2^3
    10 = 2^1 + 2^3
    12 = 2^2 + 2^3
    17 = 2^0 + 2^4
    18 = 2^1 + 2^4
    20 = 2^2 + 2^4
    24 = 2^3 + 2^4
    33 = 2^0 + 2^5
    34 = 2^1 + 2^5
    36 = 2^2 + 2^5
    40 = 2^3 + 2^5
    48 = 2^4 + 2^5
    ........... and continue with that same rule.

    I need get one function for general term for that series and sum of terms up Nth term.
    What I can do that? Somebody can help me with that?
    (2 votos)
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Transcrição de vídeo

RKA2G Em um vídeo anterior, nós escrevemos a série geométrica, a soma dos termos de uma progressão geométrica finita, por meio desta somatória e, consequentemente, demonstramos esta fórmula. Agora vem a questão: o que dizer sobre a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, ou seja, uma série geométrica infinita? Estamos falando de somar infinitos termos e obter, possivelmente, um resultado finito, dependendo do valor da razão, que é representado pela letra "q". Há mais de uma maneira de pensar nessa soma infinita e uma delas é trabalhar com o limite, com "n", tendendo ao infinito desta somatória. Vou simplesmente copiar esta expressão e colar ali. Estamos falando do limite, com ele tendendo ao infinito desta somatória, o que equivale, naturalmente, a aplicar o mesmo limite para esta fórmula. Um limite com o "n" tendendo ao infinito desta fórmula, que eu também vou simplesmente copiar e colar aqui. Como se comporta este limite nesta fórmula? Eu sugiro que você pause o vídeo e pense um pouquinho. Inclusive, é interessante você pensar nos valores da razão. O que acontece se a razão tiver valor absoluto maior que 1? O que acontece se a razão tiver valor absoluto igual a 1? O que acontece se a razão tiver valor absoluto menor do que 1? Quando o valor absoluto da razão é maior do que 1, um número maior do que 1, elevado a um expoente cada vez maior, porque estamos falando que "n" tende ao infinito, isto aqui vai dar um valor muito grande (em valor absoluto, naturalmente) e isto aqui entre aspas vai "explodir", vai dar um resultado gigantescamente grande. Se o valor de "q" for 1, nós vamos ter problema, porque o denominador é zero, então, esta fórmula nem se aplica. Esta fórmula pode, na verdade, ser útil quando o valor absoluto de "q" está entre zero e 1. O que vai acontecer neste caso, em que o valor absoluto da razão está entre 0 e 1? Não haverá problemas com o denominador, porque "q" não vale 1. Quando "q" tem um valor absoluto entre zero e 1, ele é zero vírgula alguma coisa, em módulo. Um número entre zero e 1, elevado a um expoente que é cada vez maior, resulta em algo cada vez menor e vai tendendo a zero. Estamos dizendo que todo este pedaço aqui, quando "n" é suficientemente grande, isto tende a zero. Pense, por exemplo, no número 0,5 no lugar da razão. 0,5 elevado a 10, 0,5 elevado a 100, 0,5 elevado a 1 milhão, vai ficando cada vez menor, de maneira que este pedaço da fórmula tende a zero. De maneira que isto tudo ficaria simplesmente igual a: "a" (que é este "a", que não muda, é um valor fixo), sobre 1 menos a razão (que também é um valor fixo, não muda). Aqui nós estávamos mudando quem? O expoente. Estávamos alterando o expoente, imaginando que ele fosse cada vez maior. Vamos tomar como exemplo a série geométrica começando por 1 e a razão 1/3. Então: 1. 1 vezes 1/3 me dá o próximo termo, que é 1/3, vezes 1/3 de novo me dá o próximo termo, que é (1/3)², ao multiplicar por 1/3 eu vou (1/3)³ e assim sucessivamente para sempre, infinitamente. O que temos aqui acima é a informação de que esta soma é uma série geométrica com a razão entre zero e 1, de modo que o resultado desta soma infinita é exatamente aquele que está na fórmula , que é "a", que é o primeiro termo, que é simplesmente 1, sobre 1 menos a razão. A razão, neste caso, é 1/3. Resolvendo esta conta, isto é simplesmente igual a 1 sobre 2/3. Efetuando a divisão das frações, eu tenho um inteiro vezes o inverso da segunda fração, que é 3/2. Isso dá exatamente 3/2. Pronto! Se eu somar estes infinitos termos infinitamente, vai dar 3/2. É isso aí. Até o próximo vídeo!