Resolução de séries usando a fórmula da soma de n quadrados

RKA7MP - Vamos tentar achar o somatório destes valores aqui em cima. Vamos avaliar esta expressão aqui em cima. Existe um monte de formas de fazer isso. Nós poderíamos fazer isso por força bruta. Nós poderemos fazer assim: quando "n" for igual a 1, quando "n" for igual a 2. Todos estes passos até quando "n" for igual a 7. E isto seria completamente válido. Mas eu vejo isto como uma oportunidade para observar algumas propriedades da notação sigma. A primeira coisa que você poderia dizer é que ao invés de eu somar tudo isto, quando "n" for igual a 1 e "n" igual a 2, e por todos os passos até "n" igual a 7, é razoável dizer que isto vai ser a mesma coisa que o somatório de 3n², quando em for igual a 1 até 7, mais o somatório de 2n, quando "n" for igual a 1 até 7, mais o somatório de 4, quando "n" for igual a 1 até 7. Se você acha isto um pouco confuso, eu encorajo você a compreender um pouco mais sobre cada uma destas partes. Eu encorajo você a entender que estas partes seria o mesmo que dizer esta outra expressão aqui. Eu não tenho uma prova mas se você pensar um pouquinho sobre isto, você vai concluir que esta fragmentação é algo plausível. Esta última parte é bem fácil de avaliar. Isto porque quando "n" for igual a 1, o somatório disto vai ser igual a 4. Quando "n" for igual a 2, o somatório disto será igual a 4. E você poderá fazer isto até o valor "n" igual a 7. Então, você terá sete 4, isto é a mesma coisa que dizer 7 vezes 4, que é 28. Vamos olhar agora esta parte. Mais uma vez, poderíamos fazer isso pela força bruta. 2 vezes 1 é 2, mais 2 vezes 2 é 4, mas, essencialmente, o que você vai fazer é encontrar todos os múltiplos de 2 até o valor 14. Logo, você pode pensar que isto é a mesma coisa que 2 mais 4, mais 6, mais 8, mais 10, mais 12, mais 14. Você pode fatorar isto e o resultado será que toda esta soma é a mesma coisa que 2 vezes, abre parênteses, (1 mais 2, mais 3, mais 4, mais 5, até mais 7). E você poderá reescrever isto aqui em cima como o somatório vezes 2, ou 2 vezes o somatório de "n". Então, nesta parte, nós continuamos tendo 28, eu vou desenhar um parênteses para você saber que o 28 não faz parte deste somatório, nós poderemos fazer a mesma coisa que eu fiz aqui em magenta, que vai ser igual a 3 vezes o somatório de n². Mais uma vez, vou colocar aqui em parênteses só para deixar claro. Neste ponto, é importante dizer que há fórmulas para avaliar estas duas coisas. Tem uma fórmula para avaliar isto e tem outra fórmula para avaliar isto aqui. Eu vou lhe dar a fórmula caso você esteja curioso em saber qual é. Uma das formas de expressão desta fórmula, que vai ser igual a n³ sobre 3, mais n² sobre 2, mais "n" sobre 6. E esta é a fórmula para isto. E a fórmula para isto aqui vai ser, me desculpe, deixe-me voltar um pouco e substituir os valores. Então, isto vai ser igual a 7³ sobre 3, mais 7² sobre 2, mais 7 sobre 6. A fórmula para este somatório será a média do primeiro e do último valor de "n". Vai ser 1 mais 7 sobre 2. E, então, nós multiplicaremos esta média por 7, que é o número de vezes que esta série acontece, ou seja, 7 termos. É válido lembrar que esta parte verde só corresponde a esta parte, e que nós temos ainda o valor de 2, que é 2 vezes 7, nós temos aqui também o valor de 3 em azul, que é 3 vezes esta expressão aqui. Então, nós temos que 1 mais 7 é igual a 8, que dividido por 2 é igual a 4, 4 vezes 7 é 28, 28 vezes 2 é 56. Isto nós podemos calcular, mas nós podemos também pegar a calculadora para poder fazer isto, e é exatamente o que eu vou fazer, vou pegar a calculadora e calcular toda esta parte da expressão. Nós temos 7 elevado a 3, dividido por 3, mais 7², dividido por 2, mais 7 dividido por 6, o que vai nos dar este valor todo de 140. Isto vai ser 3 vezes 140, mais 56, mais 28. Então, o resultado vezes 3, mais 56, mais 28, vai ser igual a 504. Esta soma vai ser igual a 504. Existem múltiplas formas de fazer isto, mas é importante saber que existem caminhos que são mais fáceis, caminhos em que nós podemos quebrar a fórmula inicial em fórmulas menores e utilizar algumas propriedades já conhecidas. Eu encorajo você a olhar para estas fórmulas e ver a prova real delas, ou seja, eu não estou aqui dizendo que exista uma fórmula para isto. Então, vá lá e aplique, simplesmente. O que eu estou dizendo é que é importante você saber qual é o raciocínio por trás, mas também é importante saber formas de simplificar o cálculo que você está realizando. Eu encorajo você a olhar no nosso site de onde estas fórmulas saem, de onde estas fórmulas são derivadas.