Soma de n quadrados (parte 2)

RKA2G - Agora estamos prontos para resolver para A, B e C, dadas três equações com três incógnitas. Vamos começar com estas duas equações. Eu tenho esta em azul... Vou copiar e colar aqui... E, então, eu vou reescrever a outra. Quer dizer, acho melhor multiplicá-la por -2 para cancelar os termos C. Isto é -2A - 2B - 2C, que é igual a -2. Se somar dos dois lados da equação, eu vou ter: -6A + 2B, estes dois temos aqui se cancelam e tudo isso é igual a 3. Outra equação que eu posso usar é a laranja e a verde, para que os termos C se cancelem. Eu tenho 27A + 9B + 3C e isso é igual a 14. Eu posso multiplicar por -3, se quiser que C se cancele de novo. O meu objetivo é ter duas equações com duas incógnitas, obtidas pela combinação destas duas equações e destas outras duas equações. Agora vou fazer estas duas aqui. Vou multiplicar esta equação por -3. Temos: -3A - 3B - 3C = -3. E agora eu posso realizar a subtração. Temos 24A + 6B, estes se cancelam e isto é igual a 11. Agora temos duas equações com duas incógnitas. E vamos ver, se eu multiplicar esta equação por -3, vou conseguir que B se cancele. Vamos fazer isso com duas incógnitas. Se eu multiplicar por -3 esta equação, ou este termo, 6 vezes A vezes -3 é -18 vezes A. 2 vezes B vezes -3 = -6 vezes B. É igual a 3 vezes -3, que é igual a -9. Se eu adicionar os dois lados da equação, teremos: 24A - 18A é 6A. Estes se cancelam, é igual 11 - 9, que é 2. Dividindo os dois lados por 6, obtemos A = 2 dividido por 6, que é o mesmo que 1 dividido por 3. Agora podemos substituir para obter B. Vamos ver. Nós temos 6 vezes 1/3 (A é 1/3), mais 2 vezes B, que é igual a 3. 6 vezes 1/3 é 2, 2 + 2B = 3. Subtraindo os dois lados, 2 vezes B = 1. Dividindo os dois lados por 2, temos que B = 1/2. Então, A = 1/3 e B = 1/2. Agora nós temos que resolver para C. Podemos voltar para a equação original. Temos: 1/3 + 1/2 + C = 1. Vou fazer isso em outro lugar com mais espaço. Vamos fazer isso bem aqui. Eu tenho 1/3 + 1/2 + C = 1. Temos que achar o denominador comum. Vamos ver. O múltiplo comum para todos esses números vai ser o 6. Então, eu posso reescrever isto como: 2/6 + 3/6 + C = 6/6. 6/6 é a mesma coisa que 1. Isto é 5/6 + C = 6/6. Subtraindo 5/6 dos dois lados, obtemos que C = 1/6. C = 1/6. Agora, sim, nós obtivemos uma fórmula para a soma dos primeiros "n" quadrados. Então, podemos reescrever isto desta forma. Esta fórmula agora vai ser: A é 1/3, então, será 1/3 vezes "n" elevado a 3, mais 1/2 vezes n², mais 1/6 vezes "n". E esta é uma fórmula muito útil. Se você quiser encontrar 0² + 1² + 2² + 3², até 100², em vez de elevar ao quadrado cem números e depois adicioná-los, você pode simplesmente calcular 1/3 de 100³, mais 1/2 vezes 100², mais 1/6 vezes 100. Ou pode usar para um outro número. Esta é uma fórmula muito, muito útil.