Resolução de sistemas lineares por substituição (antigo)

RKA - No último vídeo, a gente viu o que é um sistema de equação. Nesse vídeo, vou mostrar uma técnica de álgebra para resolver sistemas de equações que não precisa construir os gráficos das retas e tentar determinar exatamente onde elas se cruzam. Isso vai te dar uma resposta algébrica exata. Em vídeos futuros, a gente deve ver mais métodos para fazer isso. Um é "x + 2y = 9". E a outra equação é "3x + 5y = 20". Se fizer o que fizemos no vídeo anterior, dá para grafar cada um desses. Estas são retas, e dá para colocar em formato de equação reduzida da reta ou formato de coeficiente angular. Elas estão em formato padrão agora. E poderia grafar cada uma dessas retas, determinar onde elas se cruzam e seria uma solução. Mas, às vezes, é difícil de encontrar só olhando (de determinar exatamente onde elas se cruzam). Vamos determinar uma forma algébrica de fazer isso: usar o método de substituição. Vou usar uma das equações para resolver uma das variáveis e, então, substituir de volta aquela variável. Deixa eu mostrar do que estou falando. Vou solucionar "x" usando esta equação aqui em cima. Ela diz que "x + 2y = 9". Quero isolar o "x", então, vamos subtrair "2y" dos dois lados. Tenho "x = 9 - 2y". Isso é o que a primeira equação está me dizendo. Só arrumei ela um pouquinho. A primeira equação está dizendo isso. Para satisfazer as duas equações, "x" tem que satisfazer esse limite, para que eu possa substituir de volta para "x". Digamos que esta equação de cima diga: "x" tem que ser igual a isso. Bom, se "x" tem que ser igual a isso, e vamos substituir por "x", essa segunda equação será 3 vezes "x"; e, ao invés de "x", vou escrever "9 - 2y". "3‧(9 - 2y) + 5y = 20". E é por isso que chamamos de método da substituição: eu substituí por "x". E o motivo pelo qual isso nos ajuda é que, agora, tenho uma equação com um desconhecido, e posso solucionar "y". Vamos fazer isso. 3 vezes 9 dá 27... 3 vezes -2 dá... "-6y" mais "5y" igual a 20. Some o "-6y" mais o "5y". Some esses dois termos... você tem 27... vamos ver... vai ser "-y" é igual a 20... vamos subtrair 27 dos dois lados, e tem... (27 dos dois lados)... do lado esquerdo os 27 cancelam... e tem "-y" é igual a "20 - 27" (que dá -7). Então, podemos multiplicar os dois lados dessa equação por -1, e tem "y = 7". Encontramos o valor "y" desse ponto da intersecção dessas duas retas: "y = 7". Vou escrever para não ter que ficar me movendo para baixo e para cima: "y = 7". Bom, se conhecemos "y", dá para solucionar "x". "x = 9 - 2y". Vamos fazer. "x" é igual a 9 menos "2‧(y)" (2 vezes 7), ou "x = 9 - 14", ou "x = -5". Então, simplesmente usando substituição, a gente consegue encontrar um par ordenado (x, y) que satisfaz estas equações. O ponto "x" é igual a -5, e o "y" é igual a 7. Isso satisfaz essas duas. Pode experimentar. "-5 + 2‧(7)" isso dá "-5 + 14", e isso realmente dá 9. Faça você essa equação. "3‧(-5)" dá -15, mais "5‧(y)" (mais "5‧(7)"), então -15 mais 35 realmente dá 20. Isso satisfaz as duas equações. Se fosse desenhar o gráfico das duas equações, elas se cruzariam no ponto (-5, 7). Agora, vamos usar o nosso mais novo conhecimento para resolver um problema. Digamos que eles dizem que a soma de dois números dá 70. A soma de dois números dá 70. E são diferentes, ou talvez poderia falar que diferem, por 11. Quais são os números? Quais são os números? Vamos ao problema. Vamos definir algumas variáveis. Vamos deixar que "x" seja o número maior, e "y" será o número menor. Eu estou criando essas variáveis aleatoriamente. Um é maior que o outro, e eles diferem por 11. A primeira declaração "a soma dos dois números das 70", isso nos diz que "x + y" deve ser igual a 70. Essa segunda declaração, que "eles diferem por 11", quer dizer que o número maior menos o número menor tem que ser 11. Isso nos diz que "x - y" tem que ser igual a 11. Então, aqui está. Tem duas equações, e também dois desconhecidos. Tem um sistema de duas equações. Dá para solucionar usando o método de substituição. Vamos solucionar "x" nesta equação aqui. Se somar "y" dos dois lados dessa equação, teremos o quê? Do lado esquerdo tem "x" (porque esses se cancelam), e do lado direito você tem "x = 11 + y", ou "y + 11". A gente tem "x = 11 + y" usando a segunda equação, e pode substituir de volta nesta equação de cima. Ao invés de escrever "x + y = 70", dá para substituir por "x". Já usamos a segunda equação (a vermelha), agora tem que usar o limite de cima. Se substituir, a gente tem "y + 11" (lembre-se que isso era "x" e estamos substituindo por "x")... mais y é igual a 70; Isto é "x". Esse limite nos foi dado por essa segunda equação, ou por essa segunda declaração. Substituí esse "x" com "y + 11"; e pude fazer porque esse é o limite que a segunda equação nos deu. Agora, vamos calcular o "y". Pegamos "y + 11 + y = 70", Isso é "2‧(y) + 11 = 70". Se subtrair 11 dos dois lados, tem "2y" é igual a... o que é isso? 59. Você tira 10 de 70... e tem 11, então será 59... "y = 59/2". Outra forma de descrever é como 59/2 é a mesma coisa que... deixa eu ver... "29,5"; "y = 29,5". Agora "x" será igual a quanto? A gente já sabe que "x = y + 11". "x" será igual "29,5", que é o valor de "y" (acabamos de determinar isso), mais 11, que é igual a... daí, você soma 10 e tem "39,5"... soma mais 1... tem "40,5"; e pronto. Se quisesse encontrar as intersecções dessas duas retas, elas se cruzariam no ponto (40,5; 29,5). "x = 40,5" e "y = 29,5". E você poderia ter usado essa equação para solucionar "x" e, então, substituir essa. Daria para ter usado essa equação para solucionar "y" e ter substituído com essa. Enfim, o ponto importante é que use os dois limites. Vamos verificar que realmente funciona. Qual a soma desses dois números, "40,5 + 29,5"? Realmente dá 70. E a diferença entre os dois realmente é 11; é exatamente 11. Bom, espero que tenha gostado.