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Resolução de sistemas lineares com 3 variáveis: nenhuma solução

Transcrição de vídeo

RKA - Determine se este sistema não tem soluções ou tem soluções infinitas. Vamos pensar em como podemos fazer isso. Talvez nem tenha solucionar tudo se a gente se deparar com algo sem sentido mostrando que não tem soluções. Ou podemos ir além e ver se há uma ou soluções infinitas; mas parece que uma solução não é uma opção para o dado enunciado. Para iniciar a resolução de três equações com três incógnitas, tente eliminar variáveis uma a uma. Dá para tentar eliminar as variáveis "x" para criar duas equações com duas incógnitas, que serão "y" e "z" se unir duas equações e eliminar o "x" em cada um dos pares. Por exemplo, dá para juntar as duas primeiras e as duas últimas. E bastaria isso para eliminar as variáveis "x" e continuar com duas equações com todas as informações dessas três equações. O terceiro par seria entre a primeira e a terceira equação, mas basta calcular dois pares. Para mostrar o que quero dizer, eu vou pegar esse primeiro par, as duas primeiras, e usar para eliminar os termos em "x". Aqui tenho "2x" e aqui "8x". Se eu transformar o "2x" em "-8x", somaria os dois lados dessas equações e os termos "x" se anulariam. A melhor forma de transformar esse "2x" em "-8x" é multiplicar a primeira equação por "-4". É preciso multiplicar a equação toda, os dois lados, por "-4". "2x" vezes "-4" dá "-8x", "-4y" vezes "-4" dá "+16y", "z" vezes "-4" dá "-4z" que é igual a... "3" vezes "-4" dá "-12". Agora, vou reescrever essa equação aqui: "8x - 2y + 4z = 7". E posso somar as duas equações. Do lado esquerdo, esses dois se anulam (esse foi o motivo para multiplicar a equação por "-4"). "16y - 2y" dá "14y", "-4z" mais "4z" se anulam também. Multiplicando essas duas equações por "-4" anulamos duas variáveis. Ficamos com "14y" é igual a "-12 + 7 (que dá "-5"). E dá para encontrar o valor de "y". Não sabemos se esse sistema terá soluções, mas, se presumir que terá, dá para achar o valor de "y" dividindo os dois lados por "14". Mas vamos deixar isso para depois; vamos ver esse segundo par. Queremos eliminar as variáveis "x". Aqui tem um "8x", e aqui um "-4x". Multiplicando por "2" se tornará "-8x" e a gente vai poder anular com a de cima. A equação de cima é "8x - 2y + 4z = 7". Estou falando dessa equação aqui e vou multiplicar a equação de baixo por "2". Vou multiplicar a equação de baixo por "2". "-4x" vezes "2" dá "8x". Vou multiplicar por "2". "2" vezes "4x" dá "8x", "2" vezes "y" dá "2y", "2" vezes "-2z" dá menos "-4z" e "2" vezes "-14" dá "-28". Agora, podemos somar os dois lados. Esses se anulam, esses se anulam, esses anulam e ficamos com nada do lado esquerdo; dá "0 + 0 + 0". E do lado direito ficamos com "7" menos "-28" que dá "-21". Essa resposta não faz sentido. "0" não pode ser igual a "-21". Independentemente do valor de "x", "y" ou "z", zero não pode ser igual a "-21". Isso porque essas duas últimas equações vistas como planos em três dimensões não se cruzam. Em três dimensões são planos paralelos. E, como essas duas últimas não se cruzam, dá para falar que esse sistema não tem solução. Não importa que a primeira equação se cruze com a segunda ou a terceira. O fato de as duas últimas não se cruzarem mostra que não existe um ponto tridimensional que satisfaça as três, porque não têm um ponto "x", "y", "z" que satisfaça essas duas (porque são planos paralelos que não se cruzam). Espero que tenha sido útil. A gente se vê no próximo vídeo! Fui...