Introdução a sistemas lineares com 3 variáveis

RKA - Solucione esse sistema. E aqui tem três equações com três incógnitas desconhecidas. Para que consiga visualizar cada uma dessas equações precisaria de um plano em três dimensões. Então, queremos descobrir onde três planos em três dimensões se cruzam. Eu não vou entrar em detalhes. Vou me concentrar na mecânica, mas se eu desenhasse um espaço tridimensional a gente teria um eixo "x", um "y" e um "z". Imagine que esse primeiro plano seja algo assim (só estou desenhando parte do plano) e esse segundo plano cruza com o primeiro. Assim, depois passa por trás dele assim, e continua em todas as direções (só estou desenhando uma parte). E esse terceiro plano talvez cruze aqui e aqui. Depois sobe, passa por baixo, assim. Só estou fazendo para você visualizar. As coordenadas "x", "y" e "z" que satisfariam essas três restrições da forma como desenhei, estariam aqui. É esse ponto que queremos. Muitas vezes essas três equações com três incógnitas desconhecidas serão inconsistentes. Você não terá uma solução porque é muito improvável ter três planos que se cruzem no mesmo lugar. Um exemplo simples é que eles podem ser paralelos ou podem se cruzar, mas talvez um triângulo. Um plano seria assim, o outro estaria nesta posição e o terceiro plano estaria mais ou menos nessa posição. Mas, a intersecção com esse plano seria aqui. Eles formam um triângulo e não têm uma intersecção em um único ponto. Nesta situação teria um sistema inconsistente, mas vamos tentar solucionar esse sistema. E o truque é tentar eliminar uma variável de cada vez de todas as equações se certificando de que você tem as informações das três equações. Vejamos qual é a variável mais fácil de eliminar. Temos um "y" positivo, um negativo e outro positivo. Parece que podemos eliminar os termos "y". Dá para somar essas duas equações e gerar outra equação só em termos de "x" e "z". E podemos usar essas duas para gerar outra equação, somente em termos de "x" e "z", mas ela terá todas as informações restritivas de "x" e "z" porque vamos usar as três equações. Vamos lá. Primeiro vamos somar essas duas equações. "x + y - 3z = -10" "x - y + 2z = 3" Para eliminar o "y", basta somar as duas equações. Do lado esquerdo "x + x" dá "2x", "y" mais "-y" se anulam e "-3z" mais "2z" dá "-z". E tem o "-10" mais "3", que dá "-7". Usando essas duas equações, a gente fica com "2x - z = -7". Só somamos as duas. Agora, vamos somar essas duas equações. Podemos reutilizar essa segunda desde que tenhamos novas informações. Agora, vamos usar as restrições da última equação. "x - y + 2z = 3" e tem "2x + y - z = -6". Se quiser eliminar os termos "y", somamos essas duas equações: "x + 2x" dá "3x". "- y" mais "y" se anulam. "2z - z" é "z". E isso vai ser igual a "3" mais "-6" dá "-3". Somando essas duas equações, fico com "3x + z = -3" Agora, tenho duas equações com duas incógnitas desconhecidas. É um problema um pouco mais tradicional. Vou reescrever aqui, "2x - z = -7" e tem "3x + z = -3" E o problema fica simples muito rápido porque, se somar as equações, os termos "z" se anulam. Se não fosse tão simples, a gente teria que multiplicar uma equação ou as duas por algum fator, mas podemos somar as duas equações. Do lado esquerdo, "2x + 3x" dá "5x", "-z" mais "z" se anulam. "-7" mais "-3" dá "-10". Divido os dois lados da equação por "5" e ficamos com "x = -2". Agora, dá para substituir de volta para achar as outras incógnitas. Podemos substituir nesta equação para encontrar o valor de "z". Tem "2" vezes "x". "2" vezes "-2" menos "z" é igual a "-7" ou "-4" menos "z" é igual "-7". Dá para somar "4" aos dois lados da equação e ficamos com "-z = -3". Multiplico ou divido os dois lados por "-1" e ficamos com "z = 3", Agora, a gente consegue substituir numa das equações originais. Sabemos que "x = -2". "-2" mais "y" menos "3" vezes "z", que é "3", deve ser igual a "-10". Basta achar o valor de "y". "-2" mais "y" menos "9" é igual a "-10". "-2 - 9" dá "-11". "y - 11 = -10". Somamos "11" aos dois lados da equação e ficamos com "y" é igual a "-10" mais "11", que dá "1". Terminamos: "x = -2", "z = 3" e "y = 1". Agora, dá para verificar se "x", "y" e "z" funcionam para as três restrições (se essa coordenada tridimensional está nos três planos). Vamos testar. "x" é "-2", "z" é "3" e "y" é "1". Vou fazer nas três. Na primeira equação significa, "-2" mais "1" (vou escrever aqui) y é "1", "x" é "-2", "z" é 3. Esse foi o resultado que encontramos. Nessa primeira ficamos com "-2" mais "1" menos "3" vezes "3". Então, "- 9"... deve ser igual a "-10"... e é. "-2" mais "1" dá "- 1" menos "-9" dá "-10". Funcionou com a primeira. Vamos ver com a segunda. Ficaremos com "-2" menos "1" mais "2" vezes "z", que é "3", então, mais "6" deve ser igual a "3. "-3" mais "6" dá, mesmo, 3. Satisfaz a segunda a equação. Agora a última. "2" vezes "-2", que dá "-4", mais "y", ou seja, mais "1", menos "z", menos "3" deve ser igual a "-6". -"4" mais "1" dá "-3", menos "3" dá "-6". Satisfaz as três equações. Então, a nossa resposta está corretíssima.