Problema de sistema linear com 3 variáveis

RKA - Solucione o seguinte problema usando três equações com três incógnitas. Sabemos que o segundo ângulo de um triângulo tem 50 graus a menos que 4 vezes o primeiro ângulo. O terceiro ângulo é 40 graus menor que o primeiro. Determine as medidas dos três ângulos. Vamos desenhar um triângulo, e chamar o primeiro ângulo de "a", o segundo ângulo de "b" e o terceiro de "c". Antes de olhar para essas restrições, uma das propriedades que conhecemos dos triângulos é que a soma dos seus ângulos tem que ser 180º. Sabemos que "a + b + c" tem que ser igual a 180º. Já que resolvemos aqui, dá para olhar essas outras restrições. Dizem que o segundo ângulo do triângulo... (vou fazer em outra cor)... dizem que o segundo ângulo do nosso triângulo tem 50º a menos que 4 vezes o primeiro ângulo. Estamos considerando que "b" é o segundo. O segundo ângulo de um triângulo tem 50º a menos que 4 vezes o primeiro ângulo. 4 vezes o primeiro ângulo seria "4a'', e estamos chamando o primeiro ângulo de "a". 4 vezes o primeiro ângulo é "4a'', mas ele é 50º menor que isso, então -50. A próxima restrição que deram é o terceiro ângulo, que tem 40º a menos que o primeiro. O terceiro ângulo tem 40º a menos que o primeiro. O primeiro ângulo, "a", será 40º a menos que isso. Tem três equações com três valores desconhecidos. É só resolver, vejamos. Qual é uma boa variável para a gente tentar eliminar primeiro, para tentar visualizar um pouco melhor? Eu vou trazer o "a" para o lado esquerdo de cada uma dessas equações. Vou reescrever a primeira equação. Tem ''a + b + c = 180". Esta equação, se subtrair "4a" dos dois lados dessa equação... se subtrair "4a", tem "-4a + b = -50". Esta equação, se subtrair "a" dos dois lados, tem "-a + c = -40". Só subtraio "a" dos dois lados. Então, agora, queremos eliminar as variáveis. E já tem... essa terceira equação está somente em função de "a" e "c". Isso está somente em função de "a" e ''b". E esse primeiro está em função de "a", "b'' e "c". Esse, já tem em função de "a" e "c". Se pudesse transformar essas duas primeiras equações, se der para usar a informação nessas duas primeiras equações para obter uma equação, que é somente em função de "a" e "c", a gente pode usar o resultado junto com essa terceira equação e teremos um sistema de duas equações com duas incógnitas. Vamos lá. Se a gente quer ter uma equação somente em função de "a" e "c", usando essas duas primeiras, precisamos eliminar o "b". Dá para multiplicar uma dessas equações vezes -1 e um desses "b'' positivo vira "b" negativo. Vamos multiplicar essa primeira equação aqui e multiplicar por -1. Vai virar "-a - b - c = -180''. E tem essa equação verde, que, na verdade, é esta equação redistribuída. Tem "-4a + b = -50". Agora, dá para somar esses dois, e tem... "-a - 4a" é "-5a", os "b" se cancelam, tem "a - c" é igual a "-180 - 50", que é -230. Usando essas duas equações em cima, tem uma equação só em função de "a'' e ''c", tem outra equação somente em função de ''a" e "c", e parece que, se somar tudo, os "c" se cancelam, então reescreva esta equação. Mas é bom ter cuidado e usar todas as equações, caso não consiga resolver. É preciso tomar cuidado para esta primeira equação ter vindo dessas outras duas aqui. Agora, quero combinar isso com essa terceira restrição, uma restrição que não está nesta equação. A gente tem "-a + c = -40", e somamos essas duas equações. ''-5a - a" é "-6a'', os "c" se cancelam, e você tem "-230 - 40", isso é igual a -270. Dá para dividir os dois lados por -6. E tem "a = -270/6". Vamos ver quantas vezes... deixa eu ver uma coisa: 270 é divisível por 3 e por 2, e deveria ser divisível por 6, então, vou dividir. Os sinais negativos, logicamente, um negativo dividido por um negativo vai ser positivo. E, se colocar 6 em 270... 6 cabe em 27 quatro vezes... 4 vezes 6 é 24... subtraímos, tem 3... desce o zero... 6 cabe em 30 cinco vezes, daí, tem "a = 45". Agora, vamos dar uma olhada nos outros, dá para substituir de volta para encontrar "c''. "c = a - 40º", então, é igual a... (vou escrever em amarelo)... "c" é igual a "45 - 40", que é igual a 5º. Por enquanto, tem "a = 45", "c = 5º". E dá para substituir em qualquer uma dessas equações para determinar "b". Dá para usar essa verde aqui. "b = 4a - 50", "b" é igual a 4 vezes 45... vamos ver... 2 vezes 45 é 90... 4 vezes 45 é 180. Vai ser "180 - 50" com esta equação, que é igual a 130º. Então, "b = 130º". Dá para... vou escrever... "a = 45"... se quisesse desenhar esse triângulo, ficaria mais ou menos assim: "a" é um ângulo de 45º, "b" é um ângulo de 130º e "c" é 5. Fica mais ou menos assim, onde "a'' é 45º, "b" é 135 e "c" é 5º. E pode verificar que funciona. Primeiro, simplesmente, deve somar os ângulos "45 + 5" é 50... ah, desculpa! Não é 135, é 130. Solucionamos aqui. É 130 e isto é 5. Quando você soma tudo, "45 + 130 + 5", realmente, é igual a 180º. "45 + 5" é 50... mais 130, 180. Então, se encaixa com a primeira restrição. E nossa segunda restrição, "b" tem que ser "4a - 50". 4 vezes "a" é 180... menos 50, 130. Se encaixa na segunda restrição. E nossa terceira restrição, "c" é "a - 40º", "a" é 45, "c" é 5. Se subtrair 40 de 45 tem 5, que é "c". Se encaixa em todas as restrições, e beleza!