Uso da identidade do cosseno da soma de ângulos

RKA - Temos aqui o triângulo ABC, que me parece um triângulo retângulo. A gente pode verificar que, usando o teorema de Pitágoras, 8² = 64, 15² = 225, 64 + 225 = 239, que é o valor da hipotenusa ao quadrado. 17² = 239. Então, este triângulo, a gente confirmou usando o teorema de Pitágoras, que é um triângulo retângulo. E o que o exercício quer que eu ache é o cosseno do ângulo ABC + 60 graus. Então se eu tiver o ângulo ABC, eu tenho este ângulo aqui. Eu quero saber quanto vale o cosseno deste ângulo + 60 graus? Não há como a gente calcular isso de forma direta. E o que a gente pode fazer é usar algumas identidades trigonométricas já estudadas para calcular o cosseno da soma destes dois ângulos. Por exemplo, usar o cosseno de (a + b). Vamos relembrar esta identidade. Podemos escrever cosseno de (a + b) como sendo: cos.a vezes o cos.b - sen.a vezes sen.b. Fazendo essa analogia para o que temos aqui no exercício, o que a gente quer achar é o cosseno de dois ângulos. O cosseno da soma de dois ângulos. Então vamos escrever aqui para deixar melhor, mais fácil. Eu quero escrever. Primeiro, eu quero achar o cosseno do ângulo que está dentro do triângulo ABC. Então vamos escrever aqui usando a nossa fórmula, a nossa identidade trigonométrica, mais 60 graus. Então eu quero achar o cosseno do ângulo que está dentro do triângulo ABC, do ângulo ABC + 60 graus. Então vai ser: o cosseno do ângulo vezes o cosseno de 60 menos o seno do ângulo vezes o seno de 60. Agora, então, a gente precisa calcular cada um destes valores. Vamos começar aqui pelo cosseno de ABC. Quanto seria este valor: cosseno do ângulo que está dentro do triângulo ABC do ângulo B, no caso. Para isso, vamos rapidamente lembrar as definições do SOH-CAH-TOA. A gente sabe que o CAH, que é o cosseno, é o valor adjacente sobre a hipotenusa. No meu triângulo, o ângulo em questão tem como lado adjacente 15 e a hipotenusa, 17. Então quando eu quero o cosseno do ângulo ABC, eu sei que vai ser 15 sobre 17. Então isto aqui vale 15 sobre 17. E agora vamos ver o cosseno de 60. Para a gente calcular o cosseno de 60, vamos relembrar do triângulo 30-60-90 que a gente já estudou. Vou desenhar ele aqui rapidinho. É um triângulo bastante importante. E aí a gente vai fazer aqui o ângulo de 90, aqui é 60 graus, e aqui vale 30. Triângulo 30-60-90. A hipotenusa vale 1. Se a hipotenusa vale 1, o lado de frente para o ângulo de 30 graus vale sempre a metade da hipotenusa. Então, 1 sobre 2. E o lado de frente para o ângulo de 60 vale √3 vezes esse lado aqui. No caso aqui, √3 sobre 2. A gente está interessado no ângulo de 60 graus. Então, mais uma vez, utilizando as relações do SOH-CAH-TOA, o cosseno de 60 vai ser o lado adjacente sobre a hipotenusa. O lado adjacente vale 1/2 sobre a hipotenusa, que vale 1. Isto tudo aqui é igual a 1/2. Então o cosseno de 60, nós também já achamos o valor. Agora vamos pensar sobre o seno. O seno deste ângulo ABC aqui. Bom, o seno do ângulo ABC está no triângulo ali. Se olharmos para o triângulo, seno vai ser o lado oposto ao ângulo sobre a hipotenusa. Então no nosso triângulo vai valer 8 sobre 17. E finalmente vamos descobrir o seno de 60 graus. Se olharmos nesse triângulo que desenhamos aqui em baixo, o seno de 60 é o lado oposto sobre a hipotenusa. O lado oposto vale √3 sobre 2. Sobre a hipotenusa que vale 1, o seno de 60 vai continuar sendo √3 sobre 2. Agora nós já temos tudo o que precisamos para calcular o que o exercício pede. Bem, então podemos escrever isso como sendo: cosseno do ângulo ABC, a gente viu que vale 15 sobre 17, vezes o cosseno de 60, a gente descobriu, calculou, que vale 1/2 menos, usando a fórmula, menos o seno do ângulo ABC. A gente também calculou, vale 8 sobre 17, vezes o seno de 60, que nós calculamos, vale √3 sobre 2. Agora basta realizarmos as multiplicações aqui. 15 vezes 1 vai dar 15, e 17 vezes 2 é 34, menos 8 vezes √3 sobre 17 vezes 2. O 8 e o 2 podemos simplificar. Se a gente simplifica, aqui vai dar 4 vezes √3 sobre 17. Se quisermos colocar todo mundo sobre o mesmo denominador, a gente poderia deixar aqui: 17 vezes 2 daria 34, o resultado seria 15 - 8 vezes √3, tudo isso sobre 34. Mas para o que o exercício pede, esta aqui é uma resposta bastante razoável. 15 sobre 34 - (4 vezes √3) sobre 17. É isso aí, até o nosso próximo vídeo!