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Uso da identidade do cosseno do arco duplo

A fórmula do cosseno do arco duplo nos diz que cos(2θ) é sempre igual a cos²θ-sen²θ. Por exemplo, cos(60) é igual a cos²(30)-sen²(30). Podemos usar essa identidade para reescrever expressões ou resolver problemas. Confira alguns exemplos neste vídeo. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Bem, então o que a gente tem aqui é um triângulo que eu posso afirmar que é um triângulo retângulo, porque 3² + 4² é igual é a 5². E o que o exercício está pedindo é que eu calcule o cosseno do dobro do ângulo ABC, ou seja, este ângulo aqui, eu preciso saber quanto vale o cosseno do dobro dele. A princípio, o que eu consigo calcular é o cosseno e o seno deste ângulo, até porque ele está dentro do triângulo retângulo. Então o cosseno do ângulo ABC, eu sei até mesmo pelas definições de SOH CAH TOA, que é o lado adjacente ao ângulo sobre a hipotenusa. No caso aqui, 3 sobre 5. Já o seno do ângulo ABC, eu sei que é o lado oposto sobre a hipotenusa. O lado oposto em relação ao ângulo vale 4, sobre a hipotenusa que vale 5. O seno eu posso afirmar que vale 4/5. E o que eu vou tentar fazer é desmembrar esta identidade para poder resolver e achar o que o exercício está pedindo. E tem uma identidade trigonométrica que a gente já estudou que vai facilitar muito a nossa vida. O cosseno do dobro de um ângulo, eu posso dizer que vale: o cos² desse ângulo - sen² desse mesmo ângulo. Nós já provamos isso em vídeos anteriores. Bem, isso vai ser muito útil para a gente agora, porque a gente pode dizer que o cosseno do dobro do ângulo ABC é igual ao cos² do ângulo ABC menos o sen² do ângulo ABC. E daí a gente pode dizer que isso é igual a o quê? Cosseno do ângulo ABC, a gente já descobriu o quanto vale, vale 3/5. Então o cos.² vai ser (3/5)² menos o seno do ângulo. O seno, a gente também sabe o quanto vale, 4/5. Então vai ficar "- (4/5²)". Isso vai ser igual a (3/5)² = 9/25, menos (4/5)² = 16/25. Então este resultado todo vai ser igual a 7/25, ou melhor, - 7/25, a gente não pode esquecer, fique atento a isso, 16 é maior do que 9, então - 7/25. Aí você vem me dizer: o cosseno do dobro do ângulo, a gente descobriu que vale - 7/25. E a pergunta que vem é a seguinte: como é que o cosseno do dobro de um ângulo pode dar um valor negativo sendo que claramente o cosseno deste ângulo é positivo? Para a gente responder isso, a gente vai ter que desenhar aqui o nosso círculo unitário trigonométrico, aquele que nós já estudamos bastante. Deixa eu fazer aqui. Aqui é o eixo "x", aqui é o eixo "y". E eu vou desenhar meu círculo unitário aqui. Vou tentar fazê-lo da melhor maneira possível. O que a gente vai perceber é que, se eu projetar este ângulo aqui no círculo, ele, mais ou menos, vai bater no círculo unitário, aqui o raio. Então este aqui é o ângulo que a gente viu o ângulo ABC. Se eu projetá-lo para o eixo "x", claramente eu percebo que ele dá um valor positivo realmente. Mas se eu dobrar este ângulo, ele vai bater mais ou menos por aqui, mais ou menos, eu vou ter esse raio aqui interceptando o círculo neste ponto, e seu projetá-lo para o eixo "x", que é o valor do cosseno, eu percebo que o valor do dobro dele caiu na parte negativa, ou seja, realmente o dobro dele vai ser negativo. Isso responde a nossa pergunta. É isso. Até o próximo vídeo!