Introdução às equações paramétricas

RKA4JL - Imagine que temos aqui um precipício, e sobre ele... Um precipício de 50 metros de altura e sobre ele um carro que está na iminência de cair vindo da esquerda para a direita com velocidade horizontal de cinco metros por segundo. O que nos interessa neste momento é verificar o caminho percorrido por este carro ao cair nesse princípio. Um problema bastante dramático. Para iniciar, vamos colocar algumas referências. Eu vou colocar aqui o eixo x e vou colocar aqui o eixo y para servir de referência. Vamos considerar que o eixo x aqui está ao nível do mar. No eixo y, neste ponto, nós temos o número 50, que é a altura do precipício. Vamos considerar que na direção da borda do precipício, no eixo x, nós temos 10, por exemplo. Então, neste ponto aqui nós temos 10 na abcissa e 50 na ordenada. O carro está neste ponto na iminência de cair. Vamos iniciar a nossa observação. Então vamos dizer que neste ponto aqui o tempo indicado por "t" é zero. Estou começando a minha observação neste momento em que o carro está na iminência de cair. A pergunta é: o que acontece quando esse carro cair pelo precipício? É um problema de física, mas não é para a física que nós vamos olhar agora. Nós vamos olhar para o tratamento das equações que aparecem por aqui. Para compreender a física, eu sugiro que você procure estudar e assistir aos vídeos sobre cinemática para analisar este movimento. Aqui nós podemos verificar que x é uma função do tempo. O carro está andando da esquerda para a direita. Mesmo caindo, ele vai continuar, de alguma maneira, se deslocando na direção horizontal. O x é uma função do tempo, x depende do tempo e a equação que determina isso é a partir do ponto inicial em x com abcissa 10 mais... ele vai andando com velocidade de 5 metros por segundo da esquerda para a direita, vezes o tempo. A distância percorrida é velocidade vezes o tempo, então aqui eu tenho a equação que determina x em função do tempo. Observe que estamos considerando que não há outras forças interferindo no movimento da componente horizontal do automóvel. Podemos supor, inclusive, que seja uma situação de vácuo. E aqui nós temos t, o tempo, como um parâmetro para determinar x, ou para equacionar x. Esse parâmetro não precisaria ser o tempo. O tempo é neste problema. Pode ser qualquer outra grandeza. Vamos estudar o y como a função do tempo. y depende do tempo e aqui você teria uma equação daquelas que, na física, são bem trabalhadas e justificadas. Mas aqui vamos analisá-la mais diretamente. Quando o tempo é zero, o y vale 50, que é de onde o automóvel, na direção vertical, parte. Ele vai caindo com velocidade vertical inicialmente zero. Então existe uma componente da velocidade inicial multiplicando o tempo, que não vai precisar para esse aqui. E ele cai de acordo com a força da conhecida gravidade. Nós sabemos que a gravidade tem um módulo de, aproximadamente, 9,8 metros por segundo ao quadrado nos arredores da superfície terrestre. Mas vamos facilitar nosso trabalho e usar 10 m/s² com um sentido para baixo nesta situação. Se você observar, se a gravidade está, naturalmente, trazendo o automóvel no sentido de cima para baixo, os valores de y vão diminuir. Então aqui nós vamos ter "menos" e a gravidade vai multiplicar t² sobre dois. Então aqui teremos 10 vezes (t² sobre 2). Simplificando um pouquinho esta equação, y varia em função de t de acordo com 50 menos... 10 simplifica com 2, então fica 5t². Essas equações vem lá da física e, novamente, temos aqui o tempo como um parâmetro, só que agora para determinar y. Nós vamos trabalhar com essas duas equações para estudar as equações paramétricas. Qual é, então, o caminho desse carro ao despencar por esse precipício? Eu vou fazer uma tabela aqui para organizar alguns dados. Nessa tabela vou colocar os valores de t e os correspondentes de x e y. Vamos iniciar quando o t vale zero segundo. Quando t vale zero, vamos ver quanto vale x. Colocando zero no lugar do t, 5 vezes zero é zero mais 10, 10. x valerá 10, o que, de fato, era esperado, pois era a posição inicial no eixo x. E y, quanto vai valer? Coloque zero no lugar do t² que dará zero e vez 5 dá zero, 50 menos zero é 50, o que também era esperado porque, inicialmente, lá no eixo y, estava na posição 50. Quando o tempo for, por exemplo, 1 segundo. Eu poderia colocar qualquer valor aqui, mas estou colocando 1 segundo. Para x, 1 vez 5, 5 mais 10, 15. Para y, 1² é 1, vezes 5, 5. 50 menos 5, 45. Colocando 2 no lugar do t, para x, 5 vez 2, 10, mais 10, 20 para x. Para y, 2² é 4, vezes 5, 20. 50 menos 20, 30. Mais um valor. Vamos colocar 3 para o t. No x, 5 vez 3 é 15, mais 10, 25. Era esperado o x ir aumentando de cinco em cinco por causa das características da função que o define. Para y, 3² é 9, vezes 5, 45. 50 menos 45 dá 5. Veja que o y está diminuindo conforme vou aumentando o tempo. Vamos localizar esses valores nos eixos para ter uma ideia um pouco melhor do que está acontecendo. Vamos supor que aqui seja 5, então aqui 10, 15, aqui temos 20, 25, e assim sucessivamente. No eixo y, vamos marcar 10, 20, 30, 40 e 50, que por ali já está. Vamos escrever aqui, 10, 20, 30, 40 e 50. Agora vamos localizar os pontos da tabela. Quanto o tempo é zero, o x é 10 e y é 50, exatamente esse ponto como nós já prevíamos, quando o tempo é igual a zero. Quando o tempo é 1 segundo, x é 15, y é 45. 15 para x, 45 para y vai nos dar algo por aqui. Aqui acontece quando o tempo vale 1 segundo. Quando o tempo vale 2 segundos, x é 20, y é 30. 20 para o x, 30 para o y, vamos localizar. Estaria por aqui. Quando tempo é 3 segundos, x é 25 e y é 5. x, 25 e y é 5, está mais aqui embaixo, algo provavelmente por aqui. Vamos marcar. Aqui é quando o tempo vale 2 segundos e aqui é quando vale 3 segundos. Podemos ter uma ideia da trajetória. Ligando esses pontos, nós teríamos algo como isto. Se você observar bem, isto aqui é um trecho de uma meia parábola. E, na verdade, para desenhar este trecho desta parábola, nós podemos fazer sem usar a variável t, o parâmetro t. Entretanto, tem alguma coisa bastante interessante nas equações paramétricas quando nós estamos as desenhando. Nós sabemos que a sequência dos pontos foi esta. O primeiro ponto, quando tempo era zero, está aqui, o próximo, quando tempo era 1, está aqui, o tempo igual a 2 aqui, e assim por diante. Então nós podemos, inclusive, marcar algumas setas indicando qual é o caminho percorrido. Não só o formato do caminho, mas qual é o sentido e por onde o carro estaria passando nessa suposta queda. Observe que quando o tempo vai aumentando o carro vai indo nesta direção e neste sentido. Igualmente importante é que, usando as equações paramétricas, nós sabemos exatamente onde o carro está para cada valor do tempo, para cada tempo. Se eu quiser saber, exatamente, onde o carro está quando o tempo vale 1,2 segundo, basta substituir nas equações e eu sei exatamente aonde ele estará no momento 1,2 segundo. Este é um excelente problema de física, mas a ideia não é ensinar física aqui. A ideia é mostrar para você a aplicação e a importância de saber trabalhar com as equações paramétricas. Estas duas aqui, esta aqui e esta aqui, na verdade a outra também, é que ela está simplificada. Estas duas são equações paramétricas. Elas têm um parâmetro. Poderíamos ter outras equações. Temos x(t), y(t), poderíamos ter z(t), w(t), depende da situação, naturalmente. Com elas nós podemos obter x e y a partir de um terceiro parâmetro, chamado, neste caso, de t. Este problema não é tão complicado, mas em problemas mais complicados, especialmente da física, mas não só na física, nós podemos ter várias equações paramétricas envolvidas. E trabalhando na forma de equações paramétricas, nós temos muito mais facilidade para lidar com uma situação mais complexa. Você pode até se perguntar: “Por que, tendo x e y, que poderiam ser relacionados entre si sem a necessidade de um terceiro parâmetro, por que introduzir um terceiro parâmetro?” E a resposta é simples: porque, além de poder facilitar algumas situações, nós podemos saber, exatamente, o caminho percorrido na composição da curva, não só neste problema, e saber exatamente onde nós encontramos cada ponto de acordo com os valores de t. São equações extremamente importantes quando algo se move por uma curva e nós precisamos estudar qual é a sua localização, neste caso, de acordo com cada valor do tempo. Esse estudo continua e vejo você no próximo vídeo. Até lá!