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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 14
Lição 18: Equações paramétricasRemover o parâmetro de equações paramétricas
Neste vídeo, começamos com equações paramétricas que dão x e y como funções de t, e manipulamos as equações para obter y como função de x. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - No último vídeo
olhamos para algumas equações paramétricas que eram definidas por x
em função do tempo (t era o parâmetro) igual a 10 mais 5t e o y também variando
em função do tempo de acordo com
y igual a 50 menos 5t². Fizemos também o gráfico.
Vamos rapidamente reproduzi-lo aqui. Estou colocando os eixos.
Aqui seria o eixo x e aqui o eixo y, e nós verificamos
que quando t era zero, nós tínhamos o x valendo 10
e y valendo 50, que dava um ponto aqui,
por exemplo. Quando x era 1,
nós obtínhamos outro ponto e vimos que temos
uma parte de uma meia parábola. Marcando os pontos aqui, quando t é 1,
temos os valores de x e y, e quando t é 2,
quando t é 3, e o carro caindo no precipício. Mas essas duas equações não representam apenas
esse trecho de semi parábola: permitem plotar a parábola inteira. Veja só: quando t é zero,
nós tínhamos este ponto aqui. Quando t for,
por exemplo, -1, para x nós vamos ter
-5 mais 10, 5 e para o y, -1² é 1,
vez 5, 5 50 menos 5, 45. De maneira que eu teria
um ponto em que x é 5 e y é 45. Se t for -2,
-2 vezes 5 dá -10, mais 10, zero.
x seria zero. E y, -2² é 4
vezes 5, 20 e 50 menos 20 é 30. Ele estaria na mesma altura
desse aqui. Teríamos este ponto aqui,
e assim por diante. E nós teríamos aqui
a outra parte da parábola, dada a simetria que temos aqui
e a curva teria este aspecto. Claro, ela deveria ser
uma linha cheia porque temos
infinitos valores ali em R. Com essas informações,
nós sabemos que a direção e o sentido pelo qual essa curva
é percorrida, conforme o valor de t aumenta, é esta aqui, daqui para lá. Conforme t aumenta, nós vamos
percorrendo esta curva, neste sentido. No nosso último exemplo, o caminho mostrado
era um subconjunto do caminho definido
por essas equações paramétricas. Você deve se lembrar
de que consideramos t igual a zero no momento em que o carro
começa a cair no precipício. O tempo não pode voltar, não podemos ter valor negativo
para o tempo. E quando o automóvel
terminar sua queda, temos o tempo, o valor máximo do tempo permitido
para esses subconjuntos que estávamos analisando
naquele outro exemplo. Essas observações
são muito importantes porque, frequentemente,
nós precisamos, ou nós vamos analisar, que um caminho é válido
para algumas equações paramétricas apenas para certos valores
do parâmetro t. Para o exemplo anterior,
nós tínhamos a situação inicial quando t era igual a zero,
o limite, digamos assim, o primeiro limite aqui
é quando t vale zero e o carro começa a cair e o limite final vai ser
quando o carro terminar de cair. Existe para isso
um certo valor de t aqui para o qual nós ainda não olhamos. Então essas equações eram válidas
naquela situação para t maior que,
ou igual a zero. e menor que,
ou igual a um certo valor, que é justamente
o que nós precisamos estudar aqui. E a pergunta é,
justamente, qual é o valor de t
quando o carro atinge o chão? Qual é o valor de t
que faz com que y seja zero? Qual é o valor de t
que faz y ser zero. Para isso, nós vamos tomar, novamente,
a equação que define y, esta aqui. E no lugar do y vamos colocar zero.
Ficaria zero igual a 50 menos 5t². Dividindo os dois lados por 5, ficaríamos com zero igual a
10 menos t². Arrumando aqui, -t² vem para cá
e fica t² igual a 10. Então, resolvendo a equação,
t pode ser mais a raiz quadrada de 10 ou menos a raiz quadrada de 10. Neste caso, estamos falando
de valores não negativos para t, então nós vamos considerar
apenas o valor de +√10 para t. t valeria √10
para que o carro atingisse o chão e √10
é aproximadamente 3,16. Quer dizer que 3,16 segundos após
o início da queda ele atinge o chão. Você pode observar,
naturalmente, que aqui teríamos um ponto
no qual o t é -√10. Agora, naturalmente não existe ali,
naquela situação do carro, o tempo negativo. Não há volta no tempo. E ele vem, na verdade,
sendo conduzido por um platô na direção horizontal,
no sentido da esquerda para a direita, e quando chegar nesse ponto,
ele começará a queda. Então naquele problema
nós precisamos definir os limites para os quais
ele é válido. E nesse caso os limites são
t igual a zero até t igual √10. Então, para aquela situação
o t está entre zero e √10. Vamos agora
abstrair um pouco e desconsiderar os limites
daquele problema. A pergunta que fica agora é: Nós conseguiremos escrever
y em função de x ou x em função de y como nós estamos habituados a fazer, como quando nós temos x e y variando de maneira relacionada? Vamos tentar. Eu reescrevi aqui
as duas equações. Vamos olhar um pouquinho para elas.
Se você observar, isto lembra o sistema de equações
com mais de uma incógnita. E a ideia é isolar t em uma delas
e substituir na outra. Por exemplo, nesta aqui que temos uma
situação um pouco mais simples, vamos isolar o t aqui. Se isolar o t,
o que eu deveria fazer? O 10 para lá
fica x menos 10 e depois, dividindo tudo por 5, eu teria t igual a x sobre 5, menos (lembre-se do 10 que foi para lá), então -10 dividido por 5 é 2, ou seja, escrever, nesta situação,
escrever t é a mesma coisa que escrever
x sobre 5 menos 2. Nós vamos tomar
este (x sobre 5) menos 2, que é a mesma coisa que t, e escrever no lugar do t
na outra equação. Vamos reescrevê-la
para ver como fica. y igual a 50 menos 5 vezes t². t, agora, é tudo aquilo
ao quadrado. No lugar do t vou colocar
(x sobre 5) menos 2. Observe: já conseguimos
y escrito em função de x, somente. Não há mais o t. Vamos simplificar um pouco
essa expressão. y igual a 50 menos 5 vezes... Vamos resolver essa potência, lembrando que é um quadrado
da diferença de dois termos. Eu devo lembrar
que o resultado é o quadrado do primeiro,
x² sobre 25, menos duas vezes o primeiro,
que é (x sobre 5), vezes o segundo,
que é 2, mais o quadrado do segundo,
que é 2², 4. Vamos distribuir
para eliminar os parênteses aqui. Na hora que eu fizer
-5 vezes esta fração, 5 vai simplificar com 25. Então eu vou ter -x² sobre 5. 5 e 25 dividem por 5. Aqui, “menos” com “menos”
vira “mais” e este 5 vai cancelar
com este 5, então teremos somente 4x...
-5 vezes mais 4, -20. E finalmente arrumando,
ficaria y igual (-x² sobre 5) mais 4x e 50 menos 20 fica 30. Desta maneira,
escrevemos y em função de x. Observe
que não estamos mais utilizando aquele terceiro parâmetro,
que era t. Não está sendo necessário,
ele pode ser suprimido. Você deve perguntar: ”Então por que nós não fazemos
sempre assim, se é muito mais simples?” Atenção: não é, necessariamente,
muito mais simples. Pode parecer mais simples
porque temos apenas y e x, mas a compreensão disso
pode ficar complicada. E uma informação muito importante
é a seguinte: você pode fazer o gráfico
desta nova equação que vai dar aquela parábola
que nós já andamos estudando sem a necessidade
de duas equações e de um terceiro parâmetro,
que era t. Isso é verdade, mas isso só nos dá
o formato da curva. Isto suprime a informação escondida,
entre aspas, no t. Ou seja, apenas com essa informação nós não sabemos a direção
e o sentido em que o movimento acontece
por aquela curva dada. Com t, analisando t, nós sabemos que
nos valores crescentes de t nós percorremos esta curva. O carro percorria esta curva
nessa direção e neste sentido. Sem t nós não temos essa informação
e não temos outra informação. Quando nós tínhamos o t, eu poderia perguntar: ”Quando t é 2,7 segundos,
qual é a posição do carro?” Seria perfeitamente possível
calcular usando as duas equações. Aqui, porém,
eu posso perguntar: "Quando t vale 2,7 segundos,
onde o carro está?" Com esta informação apenas,
nós não podemos dizer. Aqui, neste momento,
o importante é você estar convencido de que é possível suprimir
uma das equações, ou seja, de duas equações,
escrever apenas uma e saber o formato da curva
que estamos tratando. Entretanto, nós perdemos a informação
que temos no parâmetro t com relação
ao sentido e direção em que nós estamos
nos deslocando pela curva e também
em relação a saber que, quando t é igual a 1,
o móvel está neste ponto, quando t é igual a 2,
está neste ponto, quando t é igual a 3,
está neste ponto, quando é √10,
ele está exatamente aqui As equações paramétricas,
portanto, são muito úteis
nesse sentido. Nosso estudo continua.
Até o próximo vídeo!