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Remover o parâmetro de equações paramétricas (exemplo 2)

Sabemos que x=3cos(t) e y=2sen(t) e encontramos uma equação que resulta na relação entre x e y (spoiler: é uma elipse!). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - No último vídeo nós estudamos equações paramétricas e vimos que é possível suprimir o parâmetro t e escrever, por exemplo, x em função de y ou y em função de x. Vamos olhar para estas duas outras equações paramétricas. A primeira, que é x igual a 3 vezes o cosseno do parâmetro t e a outra, que é y igual a 2 vezes o seno do parâmetro t. Nosso objetivo é tentar remover o parâmetro t e escrever x envolvendo y, y envolvendo x. Eu vou pegar a segunda equação. Como temos 2 multiplicando aqui, eu vou dividir tudo por 2 e ficaria, então, com y sobre 2 igual a seno de t. Agora eu quero isolar t. Para isolar t eu preciso, entre aspas, cancelar o seno de t. Então vou usar a função inversa do seno, que é chamada de arco seno. Arco seno de y sobre 2 é igual ao arco seno de seno de t, ou seja, a função inversa garante que ali estejamos falando somente de t. Aqui vale uma observação sobre o arco seno, porque isso pode confundir muitas vezes as pessoas. Arco seno de qualquer valor, por exemplo, y, pode ser também escrito como sen⁻¹ de y, ou seja, a função inversa do seno de y. Eu prefiro evitar esta notação porque isto pode ser confundido, pode ficar ambíguo e ser confundido com (seno de y)⁻¹ e isto seria 1 sobre seno de y, que não é, definitivamente, a mesma coisa que o arco seno de y. Prefiro evitar a possibilidade desta confusão. Isso costuma acontecer porque, por exemplo, quando você vê escrito sen² y isso é, sim, a mesma coisa que tomar o seno de y e elevar ao quadrado. Pode gerar confusão do mesmo jeito que sen⁻² y seria 1 sobre sen² y. Ora, para evitar essas confusões, eu prefiro usar arco seno em vez de sen⁻¹ y, ou do que for. Vamos voltar ao problema. Conseguimos isolar t em uma das equações. Vamos substituí-lo na outra equação, nesta aqui. Então, se x é igual a 3 cosseno t, agora nós teremos x igual a 3 cosseno e, em vez do t, vamos colocar arco seno de (y sobre 2). 3 cosseno do arco seno de (y sobre 2). Observe, então, que escrevemos x em termos de y e não estamos mais, agora, usando o parâmetro t. Observe também que esta é uma equação um pouco intuitiva. Ela ficou relativamente complicada comparando com aquelas outras duas que nós tínhamos. O mesmo aconteceria se escrevêssemos y em termos de x. Esta equação, sendo um pouco complicada, nós podemos estudar outras formas de representá-la. Vamos reanalisar as duas equações aqui. Tratando-se de trigonometria, vale a pena um lembrete de que sen² x mais cos² x é igual a 1. Esta identidade trigonométrica vem lá do círculo trigonométrica de raio unitário, cuja equação é x² mais y² igual a 1. Se nós formos analisar isso junto aos ângulos, nós chegamos a esta identidade com certa facilidade. Vamos, agora, tentar escrever o cosseno de t em termos do resto e o seno de t em termos do resto nas duas equações. Vamos reorganizar um pouquinho aqui. Com tudo reorganizado, vamos lá. Nesta primeira equação, vou dividir os 2 lados por 3. Eu teria x sobre 3 igual a cosseno t. Nesta outra equação, eu teria y sobre 2 (dividindo tudo por 2) igual a seno de t. Agora, com estas duas equações, eu vou reescrever a identidade trigonométrica trocando seno de t, neste caso, sen² de t por (y sobre 2)². A mesma coisa para o cosseno. Reescrevendo, então, nós teríamos (y sobre 2)². Isto seria sen² de t. Mais cos² de t seria (x sobre 3)² igual a 1. Só vou organizar um pouquinho. Vou tirar os parênteses. Eu vou ter x² sobre 9 e também colocar x antes do y por uma questão de conveniência, y² sobre 4 igual a 1. Com um pouco de esforço, você, ao lembrar de vídeos e estudos de outras sessões, vê que temos aqui a equação de uma elipse. Vamos analisar graficamente esta elipse. Vou começar preparando os eixos. Este é o eixo x, este, o eixo y. Vou marcar os valores aqui nos eixos. 1, 2, 3, -1, -2, -3 para x, para o y 1, 2, -1, -2. Eu marquei com base no que temos aqui. Observe que não há deslocamento no x nem no y e que a raiz quadrada de 9 é 3, lembre-se disso. Então, aqui nós temos à esquerda 3 e à direita, 3 unidades. E para o caso do eixo y, a raiz quadrada de 4 é 2, então 2 para cima e 2 para baixo. Vou tentar desenhar a elipse agora. Desenhando aqui com muito cuidado, vamos chegar a esta elipse. Veja que o eixo de simetria aqui na horizontal, é o próprio eixo x, não havia deslocamento. A mesma coisa para o vertical. E aqui temos a elipse desenhada. Observe que neste caso, ao eliminar o parâmetro t que nós tínhamos nas equações paramétricas, nós pudemos reconhecer, através desta nova equação, o que, graficamente, nós teríamos nos esperando. Ainda assim, quando nós vamos destas equações paramétricas para a equação nova sem o parâmetro t, assim como nós vimos nos vídeos anteriores, nós perdemos uma informação, a informação referente ao parâmetro t. E qual era essa informação? Aqui nós não temos, exatamente, qual é a direção do movimento sobre esta curva, nós não sabemos para onde nós estamos nos direcionando de acordo com o passar do tempo, vamos supor, se t representasse o tempo. Ou seja, conforme t cresce, para que lado desta curva nós estamos caminhando? Nós também não sabemos somente a partir desta equação em qual ponto da curva nós estaremos se t for um determinado valor. Então para estudar um pouco isso, vamos fazer uma tabela e analisar alguns valores de t, relacionando-os com essa curva. Vamos colocar aqui t e os correspondentes valores para x e y. Vamos escolher alguns valores para t e para facilitar, vamos escrever novamente as equações paramétricas. Aqui estão: x igual a 3 cosseno de t e y igual a 2 seno de t. Vamos assumir que t esteja em radianos. Poderemos escolher várias possibilidades de valor para t. Vamos escolher zero, π sobre 2, que é 90 graus, e π. Vamos lá. Para o x, quando o t é zero, o cosseno de zero é 1 vez 3, que é 3. Para y, quando t é zero, seno de zero é zero vez 2, zero. Para π sobre 2. No x, cosseno de π sobre 2 é zero, vez 3 dá zero. Para y, seno de π sobre 2 é 1 vez 2 é 2. Para π. Cosseno de π é -1, vez 3 resulta em -3. Para y, seno de π é zero, vez 2, zero. Vamos marcar os pontos ali na curva, no gráfico. Quando t vale zero, x é 3, y é zero. Então, o ponto é 3,0. Aqui está. 3 para x e zero para y. Aqui é quando t vale zero. Quando t vale π sobre 2, o par ordenado é 0,2 zero para x, 2 para o y. Então aqui é quando t é igual a π sobre 2. Quando t vale π, x é -3, y é zero. Os temos aqui. Quando t vale π, nós temos aquele ponto ali. Com essa informação, percebemos que quando o valor de t vai aumentando, nós estamos nos deslocando sobre a curva nesta direção, na direção, ou melhor dizendo, no sentido anti-horário. Neste sentido nós estamos nos deslocando conforme t vai aumentando. Examinando os limites, por exemplo, se o t pertence ao intervalo de zero até o infinito, até mais infinito, pelo que nós já percebemos, com valores crescentes do t nós estamos nos deslocando sobre a elipse no sentido anti-horário e nós ficaríamos dando infinitas voltas no sentido anti-horário. O mesmo se t pertencesse ao intervalo de menos infinito a infinito. Claro, estamos falando de números reais. E se eu quisesse descrever apenas uma volta em torno da elipse, eu simplesmente tomaria t no intervalo de zero até 2π. Observe que t está relacionado aos ângulos que são descritos aqui. t estaria aqui. Em uma volta temos 2 π. Se este raio, entre aspas, fosse constante, nos descreveríamos exatamente a circunferência. Veja que esta informação, sem as equações paramétricas, nós não a teríamos. Então, em resumo, nós tínhamos estas duas equações paramétricas. Para facilitar a obtenção do gráfico, nós escrevemos, simplesmente, em função de x e y reconhecemos a elipse, a desenhamos e voltamos analisando alguns valores de t do parâmetro para determinar o sentido do movimento sobre a tal elipse. Considerando valores razoáveis para t, t poderia representar o tempo, e aqui... o movimento de uma certa partícula sobre essa elipse. Há muitas aplicações para estas situações. Espero que você tenha aproveitado bem. Nosso estudo continua. Até o próximo vídeo!