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Remover o parâmetro de equações paramétricas (exemplo 2)

Transcrição de vídeo

no último vídeo nós estudamos equações para métricas e vimos que é possível suprimir o parâmetro t e escrever por exemplo x em função de yy em função de x vamos olhar para estas duas outras equações paramétricas a primeira que é x igual a três vezes o cosseno do parâmetro t ea outra que é y igual a duas vezes o cene no do parâmetro t o objetivo é tentar remover o parâmetro te escrever x envolvendo yy envolvendo x eu vou pegar a segunda equação como temos 12 multiplicando aqui eu vou dividir tudo por dois e ficaria então com y sobre 2 e guarani a cena de t agora eu quero isolar t eu preciso entre aspas cancelar oceano de ter então vou usar a função inversa dos e no que é chamada como arco seno arcos e no de y sobre dois a igualdade com os e no decênio de t ou seja função inversa garante que ali estejamos falando somente de t aqui vale uma observação sobre o arco seno porque isso pode confundir muitas vezes as pessoas arcos e no de qualquer valor por exemplo y pode ser também escrito como sendo menos um título ou seja função inversa dos ny eu prefiro evitar esta notação porque isto pode ser confundido pode ficar ambíguo e ser confundido com seno de y tudo elevada - 1 e isto seria um sobre a cena de y que não é definitivamente a mesma coisa que o arcos ny e prefiro evitar a possibilidade desta confusão e isso costuma acontecer porque por exemplo quando você vê escrito c no quadrado de y isso é sim a mesma coisa que tomar oceano de y e elevar ao quadrado pode gerar confusão do mesmo jeito que sendo menos dois de y seria um sobre c no quadrado de y hora para evitar essas confusões eu prefiro usar arcos e não invés de cena - um de y do que for vamos voltar o problema bem conseguimos isolar teen uma das equações vamos substituí lo na outra equação nesta aqui então se x é igual a 3 cosseno t agora nós teremos x igual a 3 cosseno e vez do termos colocar arcucci no y sobre 23 cosseno do arcos e no de y sobre dois e observe então que escreveremos x em termos de y e não estamos mais agora usando o parâmetro t e observe também que esta é uma equação um pouco intuitiva ela ficou relativamente complicada comparando com aquelas outras duas que nós tínhamos o mesmo aconteceria se escrevesse música y em termos de x-men esta equação sendo um pouco complicada nós podemos estudar outras formas de representá la vamos reanalisar as duas equações aqui em se tratando de trigonometria vale a pena um lembrete de que sereno ao quadrado de x + cosseno ao quadrado de x igual uma identidade trigonométrica vem lá do círculo trigonométrica de ray unitário cuja actuação x quadrado mais y quadrado igual a 1 se nós formos analisar isso junto aos ângulos nós chegamos a esta identidade com certa facilidade bem vamos agora tentar escrever o cosseno de t em termos do resto e oceano de tentemos do resto nas duas equações vamos reorganizar um pouquinho aqui contudo reorganizado aqui vamos lá nesta primeira equação vou dividir os dois lados por três eu teria x sobre três igual cosseno t nesta outra equação eu teria então y sobre dois dividindo tudo por dois igual a cena de t bem agora com estas duas equações eu vou reescrever a identidade trigonométrica trocando-os e no d neste caso de t c no quadrado de t por y 2 o quadrado y sobre dois ao quadrado a mesma coisa porque senão escrever então nós teríamos y sobre dois ao quadrado isto seria c no quadrado de t mas o cosseno quadrado de t x sobre três ao quadrado igual 1 a 1 só vou organizar um pouquinho vôo tirar os parentes eu vou ter x ao quadrado sobre nove e também colocar o x antes do y por uma questão de conveniência y ao quadrado sobre quatro igual com um pouco de esforço você lembrando de vídeos e estudos de outras sessões temos aqui a equação de uma elipse vamos analisar graficamente esta elipse vou começar preparando os eixos e chukchis eixo y vou marcar os valores aqui nos eixos 123 pro x - 1 - 2 - 3 pro y 2 - 1 - 2 eu marquei aqui com base no que temos aqui observa que não há deslocamento chino y e que a raiz quadrada de 93 lembre-se disso então aqui o nós temos a esquerda 3 ea direita três unidades e para o caso do uno eixo y raiz quadrada de 42 estão dois próxima dois para baixo vou tentar desenhar a elipse agora desenhando aqui com muito cuidado vamos chegar a esta elipse veja que o eixo de simetria que na horizontal próprio x não havia deslocamento a mesma coisa pro vertical e aqui temos a elipse desenhada observe que neste caso ao eliminar o parâmetro ter que nos tínhamos nas equações paramétricas nós podemos reconhecer através desta nova equação graficamente o que é que nós teríamos nos esperando ainda assim quando nós vamos destas equações para métricas para a equação nova sem no parâmetro te assim como nós vimos nos vídeos anteriores nós perdemos uma informação a informação referente ao parâmetro t e qual era essa informação aqui nós não temos exatamente qual é a direção do movimento sobre esta curva nós não sabemos para onde nós estamos nos direcionando de acordo com o passar do tempo vamos supor se teve representasse o tempo ou seja conforme que cresce para que lado desta curva nós estamos caminhando nós também não sabemos somente a partir desta equação em qual ponto da curva nós estaremos se o texto for um determinado valor então para estudar um pouco isso vamos fazer uma tabela e analisar alguns valores de t relacionando os com essa curva vamos colocar aqui tenho os correspondentes valores para x e para isso vamos escolher alguns alunos para ter e para facilitar vamos clube inscrever novamente as equações paramétricas aqui estão x 5 a 3 com o seu tempo se negou a 2 e não te vamos assumir que te esteja irradiam anos poderemos escolher várias possibilidades de valor para ter vamos escolher 0 e sobre dois que é o 90 graus e pe vamos lá para o x quando o tse 0 cosseno dizeram vezes 33 para o y quando 30 sendo de zero a zero vezes 20 para o pis sobre dois no x cosseno de pi sobre 20 vezes três da zero para o y c nudep sobre dois é um vezes 22 para pe cosseno de pi - um vezes três resulta menos três a nyc nudep 10 vezes 20 vamos marcar os pontos ali na curva no gráfico quando teve a 0 o x3 de y a zero ponto então é 3030 aqui está 3 pro x 0 pro y aqui é quando te vale zero quando teve a lippi sobre dois o par ordenada 020 x 2 pro y então aqui é quando te é igual ap sobre dois quando teve a lippi x é menos três ep's 1 a 0 temos aqui quando teve a lippi nós temos aquele ponto ali bem com essa informação percebemos que quando o valor de tv vai aumentando nós estamos nos iludir deslocando sobre a curva nesta direção na direção ou melhor dizendo no sentido anti horário neste sentido nós estamos nos deslocando conforme vai aumentando examinando os limites por exemplo se o t pertence ao intervalo de zero até o infinito são mais infinito pelo que nós já percebemos com valores crescentes do t nós estamos nos deslocando sobre a elipse no sentido anti-horário e nós ficaríamos dando infinitas voltas no sentido anti horário o mesmo se te pertence ao intervalo de menos de infinito a inffinito claro estamos falando de números reais e se eu quisesse descrever apenas uma volta em torno da elipse eu simplesmente tomaria o t no intervalo de 0 até 2 pe observe que te está relacionado ao aos ângulos que são descritos aqui o teu estaria aqui em uma volta temos 2 p se este raio entre aspas fosse constante nos descreveremos exatamente a circunferência veja que esta informação sem as equações para métricas nós não teríamos então em resumo nós tínhamos estas duas equações para métricas para facilitar o obtenção do gráfico nós escrevemos simplesmente em função de x e y reconhecemos a elipse desenhamos lips e voltamos analisando alguns valores de t do parâmetro para determinar o sentido do movimento sobre a tal elipse considerando valores razoáveis para ter o que poderia representar o tempo e aqui o esta partícula sobre essa elipse há muitas aplicações para estas situações espero que você tenha aproveitado bem nosso estudo continua até o próximo vídeo