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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 14
Lição 18: Equações paramétricasRemover o parâmetro de equações paramétricas (exemplo 2)
Sabemos que x=3cos(t) e y=2sen(t) e encontramos uma equação que resulta na relação entre x e y (spoiler: é uma elipse!). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - No último vídeo
nós estudamos equações paramétricas e vimos que é possível
suprimir o parâmetro t e escrever, por exemplo, x em função de y
ou y em função de x. Vamos olhar para estas duas outras
equações paramétricas. A primeira, que é x igual a
3 vezes o cosseno do parâmetro t e a outra, que é y igual a
2 vezes o seno do parâmetro t. Nosso objetivo é tentar remover
o parâmetro t e escrever x envolvendo y,
y envolvendo x. Eu vou pegar a segunda equação. Como temos 2 multiplicando aqui,
eu vou dividir tudo por 2 e ficaria, então, com
y sobre 2 igual a seno de t. Agora eu quero
isolar t. Para isolar t eu preciso, entre aspas,
cancelar o seno de t. Então vou usar
a função inversa do seno, que é chamada de arco seno. Arco seno de y sobre 2 é igual ao arco seno
de seno de t, ou seja, a função inversa garante que ali
estejamos falando somente de t. Aqui vale uma observação
sobre o arco seno, porque isso pode confundir
muitas vezes as pessoas. Arco seno de qualquer valor,
por exemplo, y, pode ser também escrito
como sen⁻¹ de y, ou seja, a função inversa do seno de y. Eu prefiro evitar esta notação porque isto pode ser confundido, pode ficar ambíguo e ser confundido com (seno de y)⁻¹ e isto seria 1 sobre seno de y, que não é, definitivamente,
a mesma coisa que o arco seno de y. Prefiro evitar
a possibilidade desta confusão. Isso costuma acontecer
porque, por exemplo, quando você vê escrito sen² y
isso é, sim, a mesma coisa que tomar o seno de y
e elevar ao quadrado. Pode gerar confusão do mesmo jeito que sen⁻² y
seria 1 sobre sen² y. Ora, para evitar essas confusões, eu prefiro usar arco seno em vez de sen⁻¹ y, ou do que for. Vamos voltar ao problema. Conseguimos isolar t
em uma das equações. Vamos substituí-lo
na outra equação, nesta aqui. Então, se x
é igual a 3 cosseno t, agora nós teremos x igual a 3 cosseno e, em vez do t, vamos colocar arco seno de (y sobre 2). 3 cosseno do arco seno de (y sobre 2). Observe, então,
que escrevemos x em termos de y e não estamos mais, agora,
usando o parâmetro t. Observe também que esta
é uma equação um pouco intuitiva. Ela ficou relativamente
complicada comparando com aquelas outras duas
que nós tínhamos. O mesmo aconteceria
se escrevêssemos y em termos de x. Esta equação,
sendo um pouco complicada, nós podemos estudar
outras formas de representá-la. Vamos reanalisar
as duas equações aqui. Tratando-se de trigonometria,
vale a pena um lembrete de que sen² x mais cos² x
é igual a 1. Esta identidade trigonométrica vem lá do círculo trigonométrica
de raio unitário, cuja equação
é x² mais y² igual a 1. Se nós formos analisar isso
junto aos ângulos, nós chegamos a esta identidade
com certa facilidade. Vamos, agora, tentar escrever o cosseno de t
em termos do resto e o seno de t em termos do resto
nas duas equações. Vamos reorganizar
um pouquinho aqui. Com tudo reorganizado,
vamos lá. Nesta primeira equação,
vou dividir os 2 lados por 3. Eu teria x sobre 3
igual a cosseno t. Nesta outra equação, eu teria y sobre 2
(dividindo tudo por 2) igual a seno de t. Agora, com estas duas equações, eu vou reescrever
a identidade trigonométrica trocando seno de t,
neste caso, sen² de t
por (y sobre 2)². A mesma coisa
para o cosseno. Reescrevendo, então, nós teríamos
(y sobre 2)². Isto seria sen² de t. Mais cos² de t
seria (x sobre 3)² igual a 1. Só vou organizar um pouquinho.
Vou tirar os parênteses. Eu vou ter x² sobre 9 e também colocar x antes do y
por uma questão de conveniência, y² sobre 4 igual a 1. Com um pouco de esforço, você, ao lembrar de vídeos
e estudos de outras sessões, vê que temos aqui
a equação de uma elipse. Vamos analisar graficamente
esta elipse. Vou começar
preparando os eixos. Este é o eixo x,
este, o eixo y. Vou marcar os valores
aqui nos eixos. 1, 2, 3,
-1, -2, -3 para x, para o y 1, 2, -1, -2. Eu marquei com base
no que temos aqui. Observe que não há deslocamento
no x nem no y e que a raiz quadrada de 9 é 3,
lembre-se disso. Então, aqui nós temos à esquerda 3
e à direita, 3 unidades. E para o caso do eixo y,
a raiz quadrada de 4 é 2, então 2 para cima
e 2 para baixo. Vou tentar desenhar
a elipse agora. Desenhando aqui
com muito cuidado, vamos chegar a esta elipse. Veja que o eixo de simetria
aqui na horizontal, é o próprio eixo x,
não havia deslocamento. A mesma coisa para o vertical. E aqui temos
a elipse desenhada. Observe que neste caso,
ao eliminar o parâmetro t que nós tínhamos
nas equações paramétricas, nós pudemos reconhecer,
através desta nova equação, o que, graficamente,
nós teríamos nos esperando. Ainda assim, quando nós vamos
destas equações paramétricas para a equação nova
sem o parâmetro t, assim como nós vimos
nos vídeos anteriores, nós perdemos uma informação, a informação referente
ao parâmetro t. E qual era essa informação? Aqui nós não temos,
exatamente, qual é a direção do movimento
sobre esta curva, nós não sabemos para onde
nós estamos nos direcionando de acordo com o passar do tempo,
vamos supor, se t representasse o tempo. Ou seja,
conforme t cresce, para que lado desta curva
nós estamos caminhando? Nós também não sabemos
somente a partir desta equação em qual ponto da curva
nós estaremos se t for um determinado valor. Então para estudar um pouco isso,
vamos fazer uma tabela e analisar alguns valores de t,
relacionando-os com essa curva. Vamos colocar aqui t
e os correspondentes valores para x e y. Vamos escolher alguns valores para t
e para facilitar, vamos escrever novamente
as equações paramétricas. Aqui estão:
x igual a 3 cosseno de t e y igual a
2 seno de t. Vamos assumir que t
esteja em radianos. Poderemos escolher
várias possibilidades de valor para t. Vamos escolher zero, π sobre 2, que é 90 graus,
e π. Vamos lá. Para o x,
quando o t é zero, o cosseno de zero é 1
vez 3, que é 3. Para y, quando t é zero, seno de zero é zero
vez 2, zero. Para π sobre 2. No x,
cosseno de π sobre 2 é zero, vez 3 dá zero. Para y, seno de π sobre 2 é 1
vez 2 é 2. Para π. Cosseno de π é -1,
vez 3 resulta em -3. Para y, seno de π é zero,
vez 2, zero. Vamos marcar os pontos
ali na curva, no gráfico. Quando t vale zero,
x é 3, y é zero. Então, o ponto é 3,0.
Aqui está. 3 para x
e zero para y. Aqui é quando
t vale zero. Quando t vale π sobre 2, o par ordenado é 0,2
zero para x, 2 para o y. Então aqui é quando
t é igual a π sobre 2. Quando t vale π,
x é -3, y é zero. Os temos aqui. Quando t vale π,
nós temos aquele ponto ali. Com essa informação, percebemos que
quando o valor de t vai aumentando, nós estamos
nos deslocando sobre a curva nesta direção,
na direção, ou melhor dizendo, no sentido
anti-horário. Neste sentido
nós estamos nos deslocando conforme t vai aumentando. Examinando os limites, por exemplo,
se o t pertence ao intervalo de zero até o infinito,
até mais infinito, pelo que nós já percebemos,
com valores crescentes do t nós estamos nos deslocando
sobre a elipse no sentido anti-horário e nós ficaríamos dando infinitas voltas
no sentido anti-horário. O mesmo se t
pertencesse ao intervalo de menos infinito
a infinito. Claro, estamos falando
de números reais. E se eu quisesse descrever apenas uma volta
em torno da elipse, eu simplesmente tomaria t
no intervalo de zero até 2π. Observe que t está relacionado
aos ângulos que são descritos aqui. t estaria aqui.
Em uma volta temos 2 π. Se este raio, entre aspas,
fosse constante, nos descreveríamos exatamente
a circunferência. Veja que esta informação,
sem as equações paramétricas, nós não a teríamos. Então, em resumo, nós tínhamos
estas duas equações paramétricas. Para facilitar
a obtenção do gráfico, nós escrevemos, simplesmente,
em função de x e y reconhecemos a elipse,
a desenhamos e voltamos analisando
alguns valores de t do parâmetro para determinar o sentido do movimento
sobre a tal elipse. Considerando
valores razoáveis para t, t poderia representar o tempo,
e aqui... o movimento de uma certa partícula
sobre essa elipse. Há muitas aplicações
para estas situações. Espero que você tenha
aproveitado bem. Nosso estudo continua.
Até o próximo vídeo!