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Álgebra (todo o conteúdo)
Curso: Álgebra (todo o conteúdo) > Unidade 14
Lição 18: Equações paramétricasEquações paramétricas com o mesmo gráfico
Neste vídeo, mostramos como equações paramétricas diferentes podem resultar na mesma relação entre x e y (e, portanto, no mesmo gráfico). Versão original criada por Sal Khan.
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- Essas equações são lindas , tenho uma duvida todas essas equações e uma só ou são distintas.(4 votos)
- São as mesmas equações, mas com a variável t vezes 2(0 votos)
- Tudo bem que é intuitivo descobrir que a segunda equação percorre o mesmo caminho apenas de maneira mais rápida, mas em uma circunferência marcar apenas pontos em extremos, ou seja, metade de um percurso fechado, fica impossível dizer para qual direção a equação "caminha".(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - No último vídeo vimos como operar
um pouco com a álgebra e eliminar o parâmetro t
destas duas equações, chegando a esta equação que está escrita apenas
em termos de x e y e fizemos uma representação gráfica dela,
que seria esta elipse. Depois voltamos, analisando
como observar os pontos em relação ao parâmetro t. Colocamos alguns valores para t,
os correspondentes para x e y e localizamos na elipse. Vimos que quando t é zero,
temos este ponto, quando o t é π sobre 2
temos este, depois quando t é π
ele está sobre este. Pudemos verificar
que o sentido do movimento sobre a trajetória
determinada pela elipse está aqui, de acordo com estas setas. A pergunta é: ”Existe outro conjunto de equações paramétricas que levam a esta mesma equação sem envolver o parâmetro t?” Vamos começar analisando estas outras
duas equações paramétricas: x igual a 3 cosseno de (2t)
e y igual a 2 seno de (2t). Na primeira equação,
x é igual a 3 cos(2t), eu vou dividir
os dois lados por 3 e terei x sobre 3
igual a cos(2t). Da mesma maneira,
aqui na segunda equação dividirei os dois lados por 2 e ficarei com
y sobre 2 igual a sen(2t). Vamos nos lembrar, agora,
daquela identidade importante que é sen²a mais cos²a
é igual a 1 para todo "a" (veja que tem de ser
o mesmo "a" aqui e aqui) nós temos uma situação
que envolve cos(2t) e sen(2t). É a mesma expressão
que aparece tanto para o cosseno
quanto para o seno. Então, se eu trouxer isto para cá
eu vou ter o seguinte: sen²(2t) mais cos²(2t)
é igual a 1. Porém, sen(2t)
é y sobre 2, então aqui eu estou falando
de (y sobre 2)². mais... cos(2t)
é x sobre 3, então aqui estamos falando
de cos² (2t), ou seja, (x sobre 3)² é igual a 1. Eliminando os parênteses
e trocando a ordem, ficamos com (x² sobre 9)
mais (y² sobre 4) igual a 1. Esta equação
é exatamente a mesma que nós tínhamos aqui
para esta elipse. Porém, as equações paramétricas aqui eram diferentes daquelas
que eu acabei de escrever aqui. Como é que podemos olhar
para isso? Primeiramente, vamos lembrar
que aquela equação dá exatamente
a mesma elipse que nós tínhamos
na situação anterior. Simplesmente
copiei e colei aqui. Para facilitar,
vou copiar e colar as equações paramétricas
ao lado também. Vamos analisar
o que acontece quando colocamos valores para t
nestas novas equações paramétricas cuja representação gráfica
já sabemos que é esta elipse. Vamos usar os mesmos valores de t que usamos anteriormente para ter uma comparação mais fácil. Vo usar zero, π sobre 2
e π. Quando t é zero. Colocamos zero no lugar do t.
2 vezes zero é zero, cosseno de zero é 1
vez 3 é 3. x vale 3. Para y agora. Coloque zero aqui.
2 vezes zero é zero, seno de zero é zero,
vez 2, zero. Se for π sobre 2
no lugar do t. (π sobre 2) vezes 2 é π,
porque você simplifica. cosseno de π é -1,
vez 3, -3. Por outro lado,
no y, 2 vezes π sobre 2 dá π, seno de π é zero,
vez 2, zero. Vou usar π.
No x, 2 vezes π é 2π,
cosseno de 2π é 1, vez 3,
3 novamente. Para y, π vezes 2 é 2π, seno de 2π é zero,
vez 2 é zero. Então, aqui na curva,
vemos que quando t vale zero, o ponto que nós temos
é 3 para x, zero para y, que é este mesmo
que já estava aqui. Vou marcar de outra cor.
Aqui. Depois, quando t vale π sobre 2,
x é -3 e y é zero. x é -3 e y, zero.
É este ponto aqui quando t vale π sobre 2. Quando t vale π,
x é 3, y é zero e temos, agora, o mesmo ponto
que nós tínhamos aqui quando t vale π. Novamente, observamos que
o sentido do caminho é o mesmo do anterior. O sentido, nesse caso,
anti-horário pela trajetória
determinada pela elipse. Entretanto, nesta situação estamos caminhando
duas vezes mais rápido pela elipse. Veja que de zero
a π na anterior nós cumpríamos
apenas meia volta da elipse. A outra meia volta viria
continuando os valores de t. Nesta aqui, entre zero e π, nós percorremos a elipse inteira. Então, o parâmetro t, agora,
está nos informando também, pelo fato de estar multiplicado por 2, de que nós estamos percorrendo
mais rapidamente essa elipse. Veja, então,
que as duas equações, ou melhor, os dois conjuntos
de equações paramétricas, este e este, têm o mesmo formato
na sua representação gráfica. Entretanto, ao introduzir
ou analisar o parâmetro t, nós podemos verificar detalhes
sobre o caminho que existe sobre esta forma que representa
graficamente as equações. Observe aqui
que quando t é zero, estávamos falando deste ponto. Quando t vale π sobre 2 estávamos falando deste ponto. Quando t vale π, aqui falávamos deste ponto,
ou seja, aumentar em π sobre 2
o valor de t percorríamos ¼ da elipse. No outro caso, observando novamente
quando t é zero, tínhamos este ponto já marcado. Quando t era π sobre 2,
já estávamos aqui e quando t era π
nós completávamos a volta, ou seja, ao aumentar π sobre 2
no valor de t nós demos
meia volta na elipse. Mais meia volta aqui. Estamos, então,
no novo exemplo, percorrendo a elipse
duas vezes mais rápido que no exemplo anterior. Você percebe,
então, que os dois conjuntos
de equações paramétricas podem ser convertidos
para esta mesma equação que envolve apenas x e y. Entretanto,
ao converter, nós perdemos a informação implícita
no parâmetro t que trata do caminho ao redor
do formato do gráfico formado. Nós poderíamos, inclusive, inverter o sentido
do caminho percorrido usando um sinal de “menos”
no parâmetro t. Por exemplo,
nesse primeiro conjunto, se eu escrever
x igual a 3 cos -t e y igual a 2 sen -t nós vamos percorrer a elipse
no sentido oposto. Eu sugiro que você
tente brincar um pouco com isso e fazer algumas tentativas e agora
uma pergunta importante, e acho que você responde
com facilidade: Tendo o conjunto
de equações paramétricas, eu consigo converter para esta. Entretanto,
eu consigo fazer a volta? Ou seja, tendo esta equação posso escrever as equações paramétricas que deram origem a ela? Você pode pensar um pouco. E a resposta, claro,
é não. Não, basta que você perceba
que aqui nós temos dois conjuntos
de equações paramétricas, ou melhor, três,
contando com este novo que nos levam à mesma equação
envolvendo apenas x e y. Então, não é possível
fazer a volta. Nós não temos uma informação
a respeito do parâmetro para poder transformar
esta equação nas equações paramétricas
correspondentes. De fato, qualquer equação
com o formato x igual a 3 cosseno de algum número
vezes t (não zero, lógico) e y igual a 2 vezes sen(at), sendo "a" um número real
não nulo, Todas essas infinitas
equações paramétricas levam àquela equação
que vai dar, como representação gráfica,
esta elipse. Porém, para saber detalhes
sobre o movimento, sobre ela, precisamos olhar
para o parâmetro t. Para analisar
um pouco mais, vamos olhar para uma outra equação,
entre aspas, “normal”. Vamos considerar aqui a equação y igual a x² mais x. Queremos escrever
equações paramétricas que podem ser convertidas nela. Teremos infinitas
equações paramétricas e isso é fácil de observar. Por exemplo, já que o y está escrito
em termos de x, vamos determinar que o x seja,
por exemplo, igual a cos(t) menos
o logaritmo natural de t. Sendo x igual a cos(t)
menos ℓn(t), trocando x
por esta expressão aqui nós teríamos, voltando para y,
nós teríamos y igual a (cos(t) menos ℓn(t))²,
que era x², mais x, que é (cos(t)
menos ℓn(t)). Pronto. Temos aqui
um par de equações paramétricas que se convertem àquela
que está acima. Eu poderia fazer um outro exemplo e colocar x igual a t. Se x é igual a t,
y igual a t² mais t, só reescrevi aquela [equação],
trocando x pelo t. Seriam infinitas possibilidades. Graficamente, tanto para este par
de equações paramétricas quanto para este, nós teríamos o mesmo formato,
que seria uma parábola. Entretanto, o que mudaria bastante
de uma para outra é a forma como aconteceria
o deslocamento pela forma daquela parábola. A diferença entre elas
é como você se movimenta ao longo da, neste caso,
parábola que se forma. Poderíamos ter
uma situação também em que é dado um certo formato
de representação gráfica, uma certa representação gráfica, e sobre ela, nós só saberíamos
como é feito o caminho, nesse caso uma circunferência, se é feito um caminho
no sentido horário ou no sentido anti-horário e com qual, entre aspas,
velocidade, etc., se nós tivermos a informação
dada pelo parâmetro. Esta representação gráfica
de uma certa circunferência tem uma certa equação que não fornece a informação
dada pelo parâmetro. Por hora é isso. Vamos continuar esse estudo.
Até o próximo vídeo!