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Modelagem com sistemas de inequações

Neste vídeo, representamos um contexto do mundo real como um sistema de inequações lineares e geramos o gráfico desse sistema. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - Luís recebeu um vale-presente de 25 reais para comprar numa loja online que vende música e jogos digitais. Cada música custa 89 centavos ou 0,89 e cada jogo custa 1 real e noventa e nove centavos ou 1,99. Ele quer comprar pelo menos, 15 itens com o vale. Crie um sistema de desigualdades que represente esse cenário e identifique as diferentes compras usando um gráfico. Aliás, é por isso que tem esse papel quadriculado aqui. Vamos definir algumas variáveis. "M" será igual ao número de músicas que ele compra. E "J", o número de jogos. Jogos. Ele tem uma restrição, quer comprar pelo menos 15 itens com o seu vale. Então o número total de itens, vai ser o número de músicas mais o número de jogos. E tem que ter pelo menos 15. Tem que ser maior ou igual a 15. Diz essa restrição aqui. A outra restrição, é que o vale presente vale 25 reais. O que ele gastar em músicas, mais o que gastar em jogos, tem que ser menor ou igual a 25. Ele vai gastar em música, o número de músicas que comprar vezes o custo por música vezes 0,89 centavos. 0,89 × M. Isso é quanto ele vai gastar em música. Mais o custo por jogo, que é 1,99 vezes o número de jogos. Esse será seu gasto total e tem que ser menor ou igual a 25. Para marcar isso num gráfico, primeiro tem que definir os eixos. Vamos fazer isso então. E só o primeiro quadrante nos interessa, porque a gente vai ter valores positivos para o número de músicas e jogos. Não vamos discutir cenários que ele compra um número negativo de músicas e jogos, mas sim o quadrante positivo apenas. Vou desenhar os eixos. Estou desenhando o eixo vertical, que vai ser o eixo chamado de eixo das músicas. Eixo das músicas. Aqui, a gente vai ver o número de músicas que o Luís compra. Então, só para deixar mais claro, este é o eixo das músicas. E o eixo horizontal vai marcar o número de jogos que o Luis vai comprar. Deixa eu engrossar essa linha para me certificar de que vai caber tudo nessa página, porque eu acho que é muita coisa. Cada um dos quadrados vai valer 2. Então, teremos 4, 8, 12, 16, 20 e assim por diante. Aqui, claro que a gente vai ter o Zero, 4, 8, 12 16, 20 e assim por diante. Vamos marcar as duas restrições. Na primeira, o "M + J", será maior ou igual a 15. A melhor forma de marcar, é pensar nas interceptações. Se "J" é zero. Se "J" é zero, "M" é o que? "M + 0" tem que ser maior ou igual a 15. Então, se "J" é zero, "M" vai ser maior ou igual a 15. Vou fazer assim, vou marcar esse aqui. Se "J" é zero, "M" é maior ou igual a 15. Então, J é zero. "M" é 15. Isto é 12, 14, 15 está bem ali. E "M" será todos os valores equivalentes a isso, ou maiores que, para "J" ser igual a zero. Se M = 0, "J" é maior ou igual a 15. Se M =0, "J" é maior ou igual a 15. "J" é maior ou igual a 15. Então, para traçar a reta que representa "M + J = 15", a gente vai ter que conectar esses dois pontos. Vou tentar conectar os dois pontos. Ficaria mais ou menos assim. Esta é sempre a parte mais difícil. Vamos ver se eu consigo ligar esses pontos direito. Não. Vou mudar a ferramenta. Está razoável. Esta é a reta"M + J = 15". E falamos em valores maiores que 15, então vamos marcar acima da reta. A gente viu isso e J = 0 e M é maior ou igual a 15. São todos esses valores aqui, e quando "M" era zero, o "J" era maior ou igual a 15. Aqui, essa restrição é tudo isso. Toda essa área satisfaz isso. Toda essa área. Se escolher qualquer coordenada aqui, ela representa, e pense nas coordenadas inteiras, porque não vamos comprar partes de jogos, mas todas as coordenadas inteiras representam combinações de "M" e "J", nas quais compramos pelo menos 15 jogos. Por exemplo, compramos oito jogos e 16 músicas, dá 24, então estamos dentro da primeira restrição. Agora, a segunda restrição. 0,89M + 1,99J. é menor ou igual a 25. Esse é um ponto de partida. Vamos desenhar a reta. 0,89M + 1,99J = 25. Depois, pensaremos em qual região um "menor que" representa. E a forma mais fácil, é achar as interceptações em "M" e "J" nos eixos. Se M = 0 1,99J = 25. Ou "J" é igual a, vou pegar uma calculadora, 25 ÷ 1,99 dá 12,56. J = 12,56. Deixa eu marcar. Quando "M" é zero, "J" é 12,56. E isto é 12, e isto é 14. 12,56 vai ser um pouco além de 12. É esse valor aqui. E vamos fazer o mesmo, se "J" for zero. Se J = 0, vamos ter, e essa expressão vai embora, vamos ter 0,89M. Se usar só a equação, é igual a 25. Ou M é igual a. Vou pegar a calculadora de novo. Então, dividindo 25 por 0,89 ficamos com 28,08. Um pouco mais de 28. 28,08. "J" é 0, "M" é 28. Portanto, 2, 4, 6, 8, um pouco mais de 28 é bem aqui. Então esta reta 0,89M + 1,99J = 25, e irá desta coordenada, que é 0 e 28,08. Portanto, esse ponto aqui, até o ponto 12,56 e 0. Vou desenhar. Vou fazer mais uma tentativa. Se eu começar de baixo, vai ser mais fácil. Ficou melhor. Vou engrossar um pouco para que você veja bem. Esta reta representa isso. E se estamos falando na área "menor que", o que isso significa? Se parar para pensar, quando J = 0, 0,89 é menor que 25. Quando J = 0, se quiser, o menor que pode pensar desta forma, é "menor que", e não "menor que" e igual a. Assim, "M" é menor que 28,08. Será a região abaixo. Quando o "M" é zero, ou seja, se usar a equação original, "1,99J", será "menor que" ou igual a. Usei isso só para marcar no gráfico, mas se a gente se preocupar com a desigualdade, 1,99J, é menor que 25. "J" seria menor ou igual a 12,56. Então, quando o M = 0, J é menor que 12,56. Portanto, a área que satisfaz a segunda restrição, é tudo abaixo desse gráfico. Abaixo desse gráfico. A gente quer a região que satisfaz as duas restrições. Então, será a sobreposição das regiões que satisfazem um dos dois. A sobreposição será esta região que está abaixo da reta laranja, e acima da reta azul, incluindo as duas retas. Escolha qualquer combinação. Funcionaria se Luís comprasse 4 jogos e 14 músicas. Ou se ele comprasse 2 jogos e 16 músicas. Deu pra entender. Qualquer combinação aqui dentro, só com números inteiros, satisfaria as duas restrições.