Soma de vetores na forma polar (1 de 2)

RKA4JL - Aqui temos as representações gráficas dos vetores “a” e “b”. O vetor “a” tem módulo igual a 3 unidades e orientação 30° em relação ao sentido positivo do eixo x. Já o vetor “b” tem módulo igual a 2 unidades e orientação a 135° também da parte positiva do eixo x, do sentido positivo do eixo x. Muito bem. Este vídeo pretende mostrar a você a soma vetorial dos vetores “a” e “b”. Então, o vetor “a” mais o vetor “b”. Vamos obter um novo vetor, o vetor soma e então a gente vai ter que determinar as coordenadas horizontal e vertical deste novo vetor. Para isso, vamos começar determinando as coordenadas dos vetores “a” e “b”. Coordenada horizontal, importante a sua orientação aqui no sentido da esquerda para a direita no eixo x. Então é positiva. Nós vamos ter um valor positivo, não sabemos o valor ainda, e ele será multiplicado pelo versor “i”, o vetor unitário orientado com o eixo x. Eu já disse em outros vídeos que os versores, os vetores unitários são importantes nas operações entre vetores. Aqui vou mostrar como. Essa foi a componente horizontal e aqui vamos representar a componente vertical (também orientada para cima, será positiva) do vetor “a”. Ela também terá um valor aqui qualquer, ainda não sabemos, que multiplica o versor “j”. Muito bem. Temos, você sabe, um triângulo retângulo, final componente horizontal e vertical. Quando temos um triângulo retângulo, conhecemos um lado e um dos ângulos agudos faz calcular o outro, mas não vamos nos preocupar. Com isso nós podemos determinar os outros lados do triângulo. Para isso se usa trigonometria. Muita gente, não sei você, diz assim "Eu nunca sei se usa seno, cosseno ou tangente ", por isso que a gente decora coisas como essa frase bastante simples "soh cah toa". O que é isso, hein? “seno oposto hipotenusa”, “cosseno adjacente hipotenusa”, “tangente oposto adjacente”. "Uhn, não entendi." Ah, então vamos mostrar como se usa. Vamos começar aqui pelo seno de 30°. Seno de 30° igual... "seno oposto hipotenusa", ah, então oposto (cateto oposto, já vou mostrar o que é isso) dividido pelo valor da hipotenusa. Nesse caso, a hipotenusa é o lado maior, é o nosso vetor, comprimento do vetor “a”. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto. Nesse caso, a hipotenusa vale 3 unidades. Nós queremos saber o valor das componentes. No caso, oposto, o cateto oposto. Os dois catetos estão aqui. Falamos “oposto” em relação ao ângulo considerado. Veja só: a componente vertical é o cateto oposto ao ângulo de 30°. Ele não toca... o ângulo 30 toca na hipotenusa, toca nesse outro cateto, que é o adjacente, e não toca neste cateto. A componente vertical que é, então, o cateto oposto. Nós queremos saber seu valor, então digamos... Nós temos que isolar o cateto oposto. Basta multiplicar por 3 os dois lados dessa equação. Então, o cateto oposto, podemos dizer o seguinte, o cateto oposto é igual a 3 que multiplica... (repito, multiplicamos por 3 dos dois lados, aqui cancelou 3), 3 que multiplica o seno de 30°. Bastante simples. Isso quer dizer que o nosso cateto oposto, que ainda não sabemos, vai ser igual a 3 vezes... Qual é mesmo o valor do seno de 30°? É bastante simples decorar o valor fracionário. É ½. Então o cateto oposto, a componente vertical, vale 3 vezes ½? Ora, simples. Vale 3/2. Não se preocupe com o valor decimal, que seria bem simples nesse caso, mas nos outros casos não, como vou mostrar agora. Agora vamos calcular a componente horizontal. A componente horizontal, eu já disse, é o cateto adjacente a 30°. Cateto adjacente, veja só: “cosseno adjacente hipotenusa”. Vamos usar isso mesmo que você está pensando. Vamos usar o cosseno de 30°. Cosseno de 30°, então, o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Bem parecido com o que a gente fez agora há pouco. Sabemos que, para isolar também o adjacente, multiplicamos os dois lados por 3 e temos adjacente igual a 3 que multiplica cosseno de 30°, 3 vezes cosseno de 30, o cateto adjacente ao 30°, Nossa componente horizontal será igual a 3 vezes cosseno de 30. Também é mais fácil usar valor fracionário. 3 vezes cosseno de 30, que é igual a √3 dividido por 2. Quer que eu mostre o porquê? Veja só. Veja só, então. Como eu disse, o seno 30° é bastante simples. Seno de 30 igual a 0,5. Mesma coisa que fazer 1 dividido por 2, ou ½. O cosseno de 30 é um valor mais esquisitinho para a gente decorar: 0,866, alguma coisa assim. O cosseno de 30 nós decoramos a raiz de 3 dividido por 2. √3/2, o mesmo valor do cosseno de 30. Bem mais fácil assim, não é verdade? Muito bem. Temos, então... Ah, eu esqueci, com isso eu esqueci aqui. Veja só: cosseno de 30 é 3 vezes √3/2. Não precisa se preocupar com o valor quebrado, não. Você não vai ter calculadora no vestibular e nem precisar decorar um valor tão estranho. 3√3/2. Dá pra simplificar alguma coisa? Não. Então deixe assim. Esses são os valores. Podemos até escrever o vetor “a” como a soma de suas componentes. “a” será igual, veja só. Componente sentido positivo, componente horizontal é 3√3/2, que multiplica o versor “i”, pois é no eixo x, mais a componente vertical 3/2, no sentido do eixo y, que multiplica o versor “j”. Muito bem. Vamos pensar agora no vetor “b”. Sua componente... Veja só que interessante: sua componente horizontal tem algumas vezes o versor “i”, mas veja que ela está orientada no sentido negativo. Esse ângulo é maior que 90°, então está orientada da direita para a esquerda. Será negativo esse valor. Atenção, portanto. A componente vertical está aqui, o sentido do vetor é para cima, para a esquerda, então a componente vertical já terá valor positivo, só que orientado no eixo y. Então, o versor “j”. Muito bem. Sabemos que esse também é um triângulo retângulo, mas nós precisamos saber o valor deste ângulo. Temos 135° em relação ao eixo x. 135, o total seria 180. 180 menos 135 igual a 45°. Como é 90°, aqui teremos outro ângulo de 45. Será, então, um triângulo isósceles, triângulo retângulo isósceles: os dois catetos têm o mesmo tamanho. Isso é interessante e facilita a nossa vida, até porque o seno e o cosseno de 45 também são iguais, como veremos. Se fizer o mesmo procedimento (eu encorajo você a fazer), você vai descobrir que a componente vertical do vetor “b” é igual à hipotenusa, que é o módulo de “b”, ou seja, 2, vezes... Esse aqui é o cateto oposto ao 45, 2 vezes seno de 45. Cateto "seno oposto hipotenusa", então 2 vezes seno de 45, que é igual, adivinha? √2/2. Já vou mostrar. A componente horizontal é o cateto adjacente. Então cateto adjacente é "cosseno adjacente hipotenusa". Vamos usar o cosseno. 2 vezes o valor da hipotenusa, então 2 vezes hipotenusa vezes cosseno de 45, que é √2/2. Opa, 2 dividido por 2 podemos cortar 2 aqui. Temos que a componente horizontal vai valer √2, que multiplica “i”. Componente vertical vale também √2 vezes j. Por que mesmo? Porque podemos cancelar 2 com o 2. Muito bem. Então com isso ficamos sabendo as coordenadas do vetor “b”. Vamos escrevê-las aqui. Importante lembrar que a orientação é no sentido negativo, então a coordenada horizontal será negativa. -√2 vezes o versor “i”, “i” mais a componente vertical, que será, agora sim, positiva, porque é orientada para cima. √2 vezes versor “j”. Temos, então, os vetores “a” e “b”. Para obter o vetor soma, o vetor “a” mais “b”, basta escrever aqui “a” mais o vetor “b”, basta somar suas componentes, não é verdade? Fazer a soma componente horizontal com horizontal e vertical com vertical. Veja só como é que fica. Vamos, então... Vamos até copiar aqui. “a” mais “b” será, então, veja só. Vamos copiar e colar. Esse é o vetor “a”. E copiar e colar o vetor b. Lembrando que é negativo, não pode esquecer do sinal de menos. “Control C”, “control V”. E boa, muito bem. Essa é soma vetorial de “a” mais “b”. Claro que ainda não terminamos. Vamos lá. Em seguida, vamos também copiar aqui. “a” mais “b”... ”a” mais “b” será igual... Vamos começar, então, pelas componentes. Componente horizontal, que é, no caso, o vetor “a”, 3√3/2, e a componente horizontal do vetor “b”... Opa, exagerei aqui. Não é mais, e sim menos, é negativa. -√2. Tudo isso vezes o versor “i”, afinal é a componente horizontal. E agora mais a parte vertical que será, então, parte vertical do vetor “a”, a princípio, 3/2 positivos e mais, também positiva aqui no vetor “b”, √2 que multiplica o versor “j”. Muito bem. Claro, se a gente quiser saber esses valores aqui em valores decimais, teremos que usar uma calculadora, ou então, no próximo vídeo, eu vou mostrar como que a gente pode fazer isso em um vestibular, como é que a gente faz sem uso da calculadora, apenas com as operações básicas. Mas já sabemos, então, que a soma vetorial é sempre determinação das coordenadas do vetor soma. Coordenada horizontal e coordenada vertical.