Soma de vetores na forma polar (2 de 2)

RKA2MP No vídeo anterior, nós fizemos a soma vetorial dos vetores “a” e “b”, determinando os valores das componentes horizontal e vertical do vetor soma. Eu havia prometido determinar corretamente esse vetor soma em um próximo vídeo. Chegou a hora de cumprir a promessa. Vamos, a princípio, usar o método geométrico, fazendo a translação do vetor “b”. Ele vai ser o mesmo vetor “b”, somente em outro lugar. Nós vamos colocar aqui a origem de “b” coincidindo com a extremidade do vetor “a”, para, então, poder desenhar, fazer o esboço do vetor soma. Vamos lá, começando na origem de “a”, tendo sua extremidade coincidindo com a origem de “b”. Vamos desenhar também suas componentes: componente vertical, paralela ao eixo y, que está aqui representada, alinhada com o versor “j”. Paralela ao eixo y, como eu falei. Componente horizontal, pela representação, a gente concluiu no vídeo passado, alinhada com o versor “i” do eixo x. Muito bem, este vetor que a gente fez aqui é o vetor soma que a gente procura. É o vetor que representa a soma de “a” e “b” e que vamos, para facilitar nossa vida, representar pela letra “c”, para a gente calculá-lo corretamente. Vamos ter que calcular o módulo de “c” e também direção e sentido dados pelo ângulo. Vou marcar aqui. O ângulo que o vetor soma, o vetor “c”, faz com a referência horizontal, referência padrão. Vamos lá, o vetor “c”. Nós vamos, a princípio, calcular seu módulo: módulo de “c”. Para facilitar o entendimento, vamos desenhar mais uma vez aqui o vetor “c”. Em um desenho absolutamente correto, ele deveria ser do mesmo comprimento e mesma orientação do vetor aqui desenhado. Mas a gente está falando só de um esboço. Vamos desenhar agora sua componente horizontal. Veja que ela pode ser desenhada aqui, como foi, ou aqui embaixo. Tanto faz. Componente horizontal do vetor soma e a componente vertical. Componente vertical do vetor soma. Aqui estão. Sabemos que elas são perpendiculares entre si. Então, temos aqui um triângulo retângulo. Vetor “c”, vamos representá-lo aqui. É um triângulo retângulo. Para saber o módulo, saber o comprimento de “c”, basta usar o velho e bom teorema de Pitágoras. Você deve se lembrar que vai ser a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes, que são os catetos: componente horizontal e componente vertical. Nós podemos escrever, fazer as contas aqui ou, para facilitar nossa vida, vamos usar uma calculadora. A raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. Com bastante cuidado, ajuda aqui. Raiz quadrada, vamos abrir dois parênteses. A primeira, nós vamos colocar a componente horizontal. 3 que multiplica a raiz de 3, dividido por 2. 3 vezes raiz de 3 dividido por 2, menos a raiz quadrada de 2. Essa é a componente horizontal, lembre-se que ela tem que ir ao quadrado. Mais o quadrado do outro cateto, a componente vertical, que vale 3 dividido por 2, ou 3/2, mais a raiz quadrada de 2. Fecha os parênteses, não esqueça que ela vai ao quadrado. E, aqui, o outro parêntese para terminar a raiz. E agora, vamos ter o valor do vetor soma. Veja só, por coincidência, saíram até parecidas as duas primeiras casas decimais com o π. 3,145500. Muito bem. Voltando ao nosso trabalho, vamos... vamos escrever este valor de maneira aproximada, é claro. 3,14... Como era mesmo? 1455, mas, depois do último 5, tinha alguns outros números. Então, podemos arredondar para 3,146. Temos, então, o módulo do vetor “c”. Nós calculamos, como eu disse, o comprimento do vetor, mas ainda não temos ideia do ângulo, do ângulo que o vetor faz com a horizontal, que vai nos dar a ideia de direção e sentido deste vetor. Esse ângulo, como é o método analítico, vamos chamá-lo de teta (θ) e pensar em como fazer para calcular. Claro, usar a trigonometria. Nós agora sabemos o valor da hipotenusa. Mas digamos que a gente só sabe o que a gente já sabia no começo do vídeo, ou o fim do vídeo anterior, os valores das componentes, que são os catetos desse triângulo. O cateto oposto ao ângulo θ e o cateto adjacente, esse que o ângulo θ encosta. Cateto oposto e cateto adjacente. Qual é a fórmula que nós podemos usar para fazer esse cálculo? Você deve se lembrar que é a tangente. Então, temos: tangente de θ igual à divisão entre o valor do cateto oposto, o verdinho aqui, componente horizontal, pelo cateto adjacente. Vamos fazer isso, sem precisar escrever. A gente pode copiar e colar ali. Temos o cateto oposto, eu vou copiar e colar aqui. Cateto oposto ao ângulo θ. E agora também vou colar o valor do cateto adjacente, que é a componente horizontal. Tangente de θ será a divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente. Mas nós queremos saber, não a tangente, mas o inverso da tangente. Vamos escrever isso. θ vai ser igual ao ângulo cuja tangente tem esse valor. A gente costuma colocar arco tangente, representada por tangente elevada a -1, de toda esta conta. Tangente a -1 de tudo isso que a gente indicou. Vamos passar para lá. Copiar e colar, mais uma vez, facilita a nossa vida. E, depois, a gente fecha os parênteses. Quanto vai valer isto? Vamos recorrer à calculadora mais uma vez. Tangente a -1. Vamos dar uma olhada se esta calculadora está em graus. “Degree” é “grau” em inglês. Muito cuidado porque, se estiver em radiano, isso iria mudar tudo. Vamos fazer o arco tangente. Tangente elevada a -1, abre parênteses duas vezes, de 3/2, mais raiz quadrada de 2, fecha, dividido por 3 vezes raiz quadrada de 3, dividido por 2, menos raiz quadrada de 2, que é a componente horizontal. Fecha parênteses e vamos lá conferir o valor: 67,89. Então, temos aqui, voltando ao exercício, que o ângulo θ é determinado... θ = 67,89. Podemos arredondar. 67,89 graus, este é o valor do ângulo. Agora sabemos também a orientação, ou seja, direção e sentido do vetor “c”. Módulo, direção e sentido, temos o vetor bem definido. Antes da gente terminar, é importante mostrar a você que o vetor “c”, o valor dele, 3,146, é só um pouco maior que o vetor “a”. Se somarmos “a”, que tem módulo 3, e “b”, que tem módulo 2, 2 + 3 = 5, então, o vetor “c” tem valor bem inferior à pura soma dos módulos de “a” e “b”. Claro que isso só aconteceria, o vetor soma só teria valor igual à soma escalar de “a” e “b”, se os dois vetores estivessem exatamente na mesma direção e com o mesmo sentido, como a gente vai ver em um vídeo posterior.