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Componentes vetoriais a partir da magnitude e do sentido: problema

Dadas as magnitudes e os sentidos das forças que duas pessoas estão aplicando em uma caixa, calcule a força total que é aplicada no sentido do alvo. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2JV - Imagine que nós temos aqui uma caixa. Na verdade, é uma mala sem alça, pesadinha. Ela não pode ser empurrada, não tem como. Tem apenas um ganchinho na frente. E duas pessoas querem levar esta caixa, apesar disso, puxando-a, deslizando sobre uma superfície lisa, até o ponto que nós vamos definir, este ponto aqui. Vamos definir como nosso alvo, o ponto onde as duas pessoas querem trazer essa caixa, apesar de ser pesada. As pessoas têm cordas, elas amarram no ganchinho aqui, e uma delas vai puxar por aqui, vai fazer força. A gente pode definir como um vetor, que eu vou chamar de vetor "a". Temos, então, vamos definir o módulo do vetor "a", sua intensidade, o módulo do vetor "a", igual a 330 newtons. 330 N, muito bem. Não adianta definir apenas o módulo, se não definir direção e sentido. A gente coloca aqui 35 graus em relação à distância até o alvo, a linha de distância. A outra pessoa vai puxar também, no mesmo ponto de aplicação, segundo este vetor. Vou chamar de vetor "b". É uma outra corda, a pessoa vai exercer uma força. Então, vamos definir o módulo do vetor "b", veja só: o módulo do vetor "b" é igual a 300 newtons. É quase tanto quanto a pessoa do vetor "a", um pouquinho menos, só que agora o ângulo de aplicação aqui será de 15 graus em relação à direção até o alvo. Muito bem, o vetor está definido. Agora, como é que cada pessoa exerce, preciso saber que força cada pessoa exerce na direção efetiva do alvo, porque cada uma das pessoas exerce força, também, para as laterais. Mas o que nos interessa, realmente, é a força, obviamente, na direção do alvo. Como é que nós vamos saber isso? Vamos estabelecer uma referência, de uma maneira mais simples, como se fosse um eixo X, uma referência horizontal. Vamos definir aqui, então, nosso eixo X, um esboço. Vou colocar aqui o nosso alvo. E, à esquerda, como se fosse a origem do eixo, vamos colocar a nossa mala. Muito bem. O vetor "a", vamos fazer seu esboço aqui, aumentando um pouquinho a escala para uma melhor compreensão. Este é o vetor "a", já definido. E já vamos escrever aqui, caprichando um pouco mais, vamos escrever o módulo do vetor "a". O módulo do vetor "a", que nós nos lembramos que é igual a 330 N. Muito bem. Nós queremos saber que parte, qual é a componente desses 330 N do vetor "a" que está efetivamente na direção do alvo. É a sua componente horizontal, a projeção ortogonal no eixo horizontal. Se é ortogonal, então nós definimos a projeção aqui em um ângulo de 90° em relação ao eixo horizontal. Esta projeção nós vamos chamar de aₓ. Isto não é um vetor, ok? É importante definir que aₓ é apenas o módulo do vetor aₓ. Módulo, então, do vetor projeção. Módulo é um valor, vetor é outra coisa. Qual será o valor de aₓ? É um triângulo retângulo. Nós podemos usar trigonometria, porque o cosseno que temos, o aₓ, é cateto adjacente aos 35 graus. Então, cos 35°, cateto adjacente, que no caso é quem nós queremos saber, o módulo aₓ, dividido pelo valor da hipotenusa, que vale 330. Cateto adjacente dividido por hipotenusa. Multiplico ambos os lados por 330 e inverti aqui os lados da nossa equação, de modo que temos aₓ = 330 vezes cos 35. Eu posso fazer isso, na Física, é muito comum, sempre que eu precisar do cateto adjacente e tiver o valor da hipotenusa. Muito bem, agora vamos definir, para o vetor "b", mais uma referência. Também o nosso alvo, a nossa mala sem alça. E o vetor "b", onde se encontra? Veja só. O vetor "b", também aumentando um pouco a escala, para a gente enxergar melhor. Aqui está o vetor "b", cujo módulo já vamos definir aqui. Nós nos lembramos, é legal colocar no esboço. Módulo do vetor "b" é igual a 300 N. Muito bem. 300 N, e nós vamos, também, definir o ângulo: 15 graus, a gente já sabe, é legal colocar no esboço. E para saber aqui o valor da componente horizontal do vetor "b", componente aplicada na direção do alvo, uma componente ortogonal. Muito bem, o valor dessa componente, a gente faz de maneira análoga ao vetor "a" que já fizemos. Vamos chamar de bₓ, que é um valor numérico, o valor do módulo do vetor bₓ, que é a componente do vetor "b" no eixo horizontal. Da mesma forma, vamos usar a fórmula do cosseno, porque temos um cateto adjacente. Sempre que é cateto adjacente e hipotenusa, usamos o cosseno. Cosseno de 15° é igual: divisão, cateto adjacente, que é a nossa incógnita, é a componente bₓ. Bem parecido com o que a gente acabou de fazer. Componente bₓ dividido pelo valor da hipotenusa, que vale 300 N. Podemos multiplicar por 300 dos dois lados, sabendo que bₓ será igual a 300 vezes cos 15. Algo que você pode fazer sempre que você precise de um cateto adjacente, sabe a hipotenusa e sabe o ângulo, pode multiplicar direto a hipotenusa pelo valor do cosseno. Vamos usar a calculadora para isso. Podemos determinar o valor numérico das nossas componentes. Vamos ver se está em graus, muito bem, isso é importante. Vou posicionar um pouco melhor para você enxergar aqui. Veja: 330 vezes não precisa do "vezes", a calculadora já sabe, cosseno de 35 resulta em 270,3. Aproximadamente 270 N, aplicados na direção desejada. 300 agora, (bₓ) vezes cos 15 é igual a 289,7. Podemos arredondar para 290. Muito bem. Então, veja só. Vamos desenhar na direção do alvo, conforme a gente queria, a componente alinhada com a direção do alvo. A componente do vetor "a", cujo valor numérico, vamos escrever aqui do lado, é 270. 270,3 dá para arredondar para 270. Então, 270 N. Muito bem. E agora, a componente do vetor "b": 289,77. Podemos arredondar para 290. Vamos desenhar essa componente. Veja que ela é um pouco maior. Apesar da força exercida na direção do vetor "b" ser menor, a componente em si é maior do que a do vetor "a". Agora temos aproximadamente 290 N na direção desejada. É isso que nos interessa. Muito bem, veja só que a pessoa que exerceu força no vetor "b", vamos ver a diferença, vamos fazer: o valor maior, que é 300 cos 15, menos 330 cos 35 (força maior na direção do vetor, porém menor na componente). Temos uma diferença de 19,4. Praticamente 19,5 N a mais na componente do vetor "b" por causa do ângulo menor, o ângulo é de 15° apenas, em relação à força. Somando as duas, veja só, podemos somar os 2 vetores, tendo, então, o vetor força total. O vetor soma, na direção do alvo, que é o que interessa para a gente. Queremos levar a nossa caixa. Então, basta fazer a adição dos dois. Vamos transformar agora em adição, só inserindo um sinal de "mais" aqui, e temos o valor força total, que, na direção do alvo da nossa caixa, é igual a 560 N, aproximadamente. Exatamente na direção desejada.