Operações vetoriais combinadas

RKA3JV - Neste vídeo, nós vamos utilizar todas as ideias que aprendemos anteriormente em relação à operação com vetores e realizar uma operação um pouco mais complexa entre dois vetores. Por exemplo, nós vamos utilizar a ideia de multiplicação de um vetor por um escalar, e realizar a adição entre dois vetores. Tudo isso em um mesmo problema. E para fazer isso, nós temos aqui dois vetores. Sendo que o primeiro vetor é este vetor "u", com as suas componentes sendo iguais a 2 e -1. Ou seja, a componente "x" vale 2 e a componente "y" vale -1. Então, se você pegar este vetor, e colocar aqui na origem de um sistema de coordenadas, você vai ter que andar duas unidades aqui pra direita no eixo "x", e depois andar uma unidade no eixo "y" negativo. Então, ficaremos com este vetor "u" aqui. Em que o início dele está na origem e o final dele está aqui nestas coordenadas (2, -1). Por outro lado, o vetor "w" tem essas componentes (-5, 5). Ou seja, -5 no eixo "x" e 5 no eixo "y". Então, se você parte aqui da origem do sistema de coordenadas, você vai andar 5 unidades no eixo "x" para o sentido negativo, e depois você vai andar 5 unidades para cima aqui neste caso. Então, o final deste vetor vai estar neste ponto aqui. Então, nós temos estes dois vetores. O objetivo aqui deste vídeo vai ser determinar essa operação aqui, na qual a gente tem 3 vezes "u", ou seja, estamos multiplicando este vetor "u" por este escalar 3 + 1/5 de "w", ou seja, também estamos multiplicando este vetor "w" com este escalar 1/5. Então, aqui nós temos estes dois escalares 3 e 1/5, e depois vamos realizar a soma entre estes vetores aqui. Então, vamos começar a fazer isso aqui passo a passo e representar graficamente cada um destes passos que a gente estiver realizando. Então, inicialmente, vamos multiplicar este vetor "u" por este escalar 3. Então, aqui nós temos 3, vezes este vetor "u", e este vetor "u" tem essas componentes (2, -1) Como a gente aprendeu anteriormente, para a gente multiplicar um vetor por um escalar, basta pegar este escalar e multiplicar cada um dos componentes deste vetor. Então, teremos aqui 3, neste caso, vezes 2 e o 3 vezes -1. Vamos colocar aqui, 3 vezes 2 e 3 vezes -1. Como sabemos, 3 vezes 2 é igual a 6 e 3 vezes -1 é igual a -3. Então, este vetor 3u tem essas componentes (6, -3). Podemos representar este vetor também aqui no nosso sistema de coordenadas. Então, teremos aqui, neste caso, que partir da origem e andar 6 unidades no eixo "x", então, temos aqui 1, 2, 3, 4, 5, 6. E depois 3 unidades no eixo "y" negativo. Então, teremos aqui 1, 2, 3. Então, este vetor vai vir mais ou menos até este ponto aqui. Vai partir da origem e vir, mais ou menos, até este ponto. Então, teremos este vetor aqui. E este é o nosso vetor 3 vezes "u". Se observar bem, vai perceber que este vetor tem 3 vezes a magnitude deste "u", porque aqui nós teremos uma magnitude e aqui nós teremos 2, e aqui 3. Ou seja, 3 vezes este vetor "u". Então, novamente, quando a gente quer representar este vetor no nosso sistema de coordenadas, a gente vai andar aqui, neste caso, 6 casas na horizontal no eixo "x", e depois -3 no eixo "y". E aí, a gente vai conseguir representar este vetor da forma correta. Continuando aqui, vamos voltar para cá e agora multiplicar este vetor "w" por este 1/5. Então, vamos ter aqui 1/5 de "w". E "w" tem as componentes (-5, 5). Novamente, se a gente quer multiplicar um vetor por um escalar, basta pegar este escalar e multiplicar por cada uma das componentes deste vetor. Assim, nós temos aqui 1/5 de -5. Então, vamos colocar aqui -5 e 5, e vamos multiplicar este -5 e este 5, por este 1/5. Então, 1/5 vezes -5 e 1/5 de 5, ou seja, 1/5 vezes 5. Então, vamos lá! 1/5 de -5 é igual a -1. E 1/5 de 5 é igual a 1. Ou seja, 1/5 vezes -5 é -1. E 1/5 vezes 5 é 1. Então, a gente já tem esse vetor aqui agora, com essas componentes -1 no eixo "x" e 1 no eixo "y". Então, para gente representar este vetor aqui no nosso sistema de coordenadas, basta a gente andar uma unidade aqui para esquerda. Ou seja, no "x" negativo. E depois, uma unidade no "y" positivo. Então, teremos este vetor, mais ou menos, neste ponto aqui. Então, vamos representá-lo aqui agora. Então, este aqui é o vetor 1/5 de "w", que também, se você perceber, ele é 5 vezes menor que este vetor "w". Ou seja, ele tem uma magnitude 5 vezes menor que este vetor "w". É bom lembrar que quando a gente multiplica um vetor por um escalar, a gente não altera a direção deste vetor, apenas a magnitude e em alguns casos o sentido. Agora que a gente já tem estes dois vetores aqui, a gente pode realizar a soma entre eles. E caso você não lembre, quando a gente precisa realizar a soma ou a diferença entre dois vetores, basta somar as componentes "x" do primeiro e do segundo vetor, e as componentes "y" do primeiro e do segundo vetor. Neste caso aqui, a gente vai ter 6 - 1 e a segunda componente vai ser -3 + 1. Realizando, então, essa soma aqui entre estes dois vetores, a gente tem algo desta forma: 6 - 1 = 5 -3 + 1 = -2. Então, essas aqui são as duas componentes do vetor resultante desta operação aqui. Podemos também representar isso aqui graficamente. Então, a gente vai ter um vetor em que a componente "x" vale 5. Então, vamos andar 5 casas aqui para a direita. 1, 2, 3, 4, 5 e -2 no eixo "y". Então, teremos 1, 2, mais ou menos aqui. Então, o vetor vai partir da origem e vai vir até aqui, certo? Uma outra forma também de representar isso graficamente, seria colocando este vetor 3u, que a gente já colocou aqui, realizando o deslocamento com este vetor 1/5 de "w". Tirando ele daqui e colocando no final deste vetor 3u. Dessa forma, a gente poderia colocá-lo aqui e o vetor resultante dessa operação, ou seja, da soma entre este 3u e este 1/5 de "w", partiria aqui da origem do vetor 3u e terminaria no final deste vetor 1/5 de "w". Desta forma, aqui. Então, este daqui é o vetor resultante de toda essa operação. E, novamente, se você observar essas componentes faz muito sentido, porque se a gente andar 5 unidades aqui no eixo "x" e 2 unidades no "y" negativo, a gente vai parar realmente neste ponto aqui. E aí, a gente basta partir da origem do sistema de coordenadas e colocar o final desse vetor nessas coordenadas aqui. Qualquer uma das duas formas a gente consegue determinar este vetor resultante. Aqui de forma algébrica e aqui de forma gráfica.