Direção de vetores a partir dos componentes: 1º e 2º quadrantes

RKA19MC - Neste vídeo, nós vamos analisar dois vetores. Para fazer isso, nós vamos colocar a origem deste vetor partindo da origem deste sistema de coordenadas. O objetivo principal vai ser determinar este ângulo que este vetor forma com a reta horizontal. Inicialmente, vamos escrever este vetor em termos dos vetores unitários, ou seja, nós vamos colocar aqui 3î + 4ĵ, em que, nesta notação, o 3 está multiplicando este vetor unitário no eixo horizontal e o 4 está multiplicando o vetor unitário no eixo vertical, já que o î sempre vai estar no eixo "x" e o ĵ sempre no eixo "y". Mas você também pode pensar neste vetor como sendo um vetor com duas componentes em que uma delas vale 3, e esse 3 está no eixo horizontal, e a outra componente aqui vale 4, em que esse 4 está no eixo vertical. Ou seja, partindo aqui da origem deste sistema de coordenadas, nós vamos nos mover 3 unidades na horizontal e depois vamos nos mover 4 unidades na vertical deste jeito. Então, este é o nosso vetor "u". Agora, o que nós vamos fazer aqui é determinar este ângulo teta (θ). Como sempre, eu quero que você pause este vídeo e tente determinar este ângulo sozinho. Já tentou? E aí, conseguiu? Se não, vamos dar uma olhada aqui em como a gente pode determinar este ângulo. A primeira coisa que você tem que observar aqui é que nós formamos um triângulo retângulo. Como isto se trata de um triângulo retângulo, uma das formas de determinar este ângulo seria usando a função tangente, já que a tangente é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente de um triângulo retângulo. Então, vamos colocar esta informação aqui. A gente sabe que a tangente de um ângulo θ é igual ao cateto oposto que, neste caso, este cateto oposto tem 4 unidades, então podemos colocar aqui 4 unidades, dividido pelo cateto adjacente. O cateto adjacente, neste caso, possui 3 unidades, então basta dividir o 4 pelo 3. Mas o nosso objetivo não é encontrar a tangente do ângulo, certo? Mas sim, o ângulo. E uma forma de determinar esse ângulo seria usando a função inversa da tangente. Então, o ângulo θ seria a função inversa da tangente, então teríamos aqui tangente a -1, que é a mesma coisa que o arcotangente, para você que está mais acostumado a usar essa notação. Esse arcotangente (arctg), ou a função inversa da tangente aqui, de 4 sobre 3, ou seja, quando a gente faz essa função aqui, neste caso, a gente está querendo saber qual é o ângulo que tem uma tangente que é igual a quatro terços. Para fazer esse cálculo, a gente pode utilizar a calculadora agora. Então, vamos fazer isto rapidamente na calculadora. Então, a gente vai ter aqui o arcotangente de 4 dividido por 3. Isso é aproximadamente igual a 53,1°. Então, podemos colocar aqui que este θ vai ser aproximadamente igual a 53,1°. Então, esse é este ângulo θ aqui. Já vimos uma forma de conseguir determinar este ângulo θ aqui. Então, já conseguimos calcular este ângulo simplesmente utilizando a função tangente, na qual a tangente de um ângulo é igual ao cateto oposto desse ângulo sobre o cateto adjacente. Assim, utilizamos a função inversa para determinar este ângulo e o arcotangente 4 sobre 3 é aproximadamente igual a 53,1°. Então, este é o ângulo que estávamos procurando. Claro que poderíamos simplesmente pensar nisto como o 4 sendo uma componente de "y" e o 3 sendo uma componente de "x", e a tangente deste θ claro que seria este 4 dividido por este 3, não é? Claro que tudo isso que estamos vendo deriva das funções trigonométricas. Imagine, por exemplo, que a gente tenha um pequeno círculo aqui em um eixo de coordenadas e que esse círculo seja unitário, ou seja, tem um raio igual a 1. Então, se a gente quer determinar a tangente deste pequeno ângulo aqui, a tangente desse ângulo θ ali vai ser igual a esta componente "x" aqui sobre o "y". Se eu tentar traçar aqui também este círculo unitário, esta circunferência unitária, nós teremos um pequeno ângulo θ, certo? E este ângulo vai ter um cateto oposto e um cateto adjacente. Para a gente determinar a tangente deste ângulo, bastaria pegar este cateto oposto e dividir por esse cateto adjacente, o que daria o mesmo valor que pegar este 4 aqui e dividir por este 3. Então, não importa se a gente usar este pequeno raio ou este raio grande aqui, que é o nosso vetor neste caso, nós vamos chegar ao mesmo valor para tangente, simplesmente pegando o cateto oposto e dividindo pelo cateto adjacente. Aí, neste caso, como a gente quer o ângulo, basta a gente utilizar a função inversa que chegaremos ao valor desse ângulo que nós estamos tentando determinar. Então, dessa forma, nós podemos pensar que, quando estamos falando de vetores, a tangente do ângulo que é formado com o eixo positivo "x" será igual à componente "y" sobre a componente "x". E tudo isso é muito incrível, porque todas essas ideias acabam se juntando para a gente conseguir determinar o nosso objetivo, que é este ângulo θ. Então, vamos pegar este outro vetor "w" aqui agora. A gente tem este vetor "w" utilizando a notação dos vetores unitários sendo igual a -5ȋ mais 6ĵ, que é a mesma coisa que um vetor tendo uma componente "x" igual a -5 e uma componente "y" sendo igual a 6. Se a gente quer determinar este ângulo, basta utilizar a mesma ideia que usamos antes, que é determinando a função tangente. Então, vamos lá. A tangente deste ângulo vai ser igual à componente "y", que neste caso é 6, sobre a componente "x", que neste caso é -5. A gente pode inclusive colocar este sinal de menos aqui em cima. E, novamente, vamos utilizar a função inversa da tangente. Então, a função inversa da tangente vai determinar para a gente este ângulo θ. Então, este θ, que é o ângulo que estamos tentando determinar, vai ser igual à função inversa da tangente, ou seja, o arcotangente, de -6 sobre 5. E isto vai ser igual... vamos calcular novamente. Então, vamos lá. A gente quer o arcotangente de -6 dividido por 5. E isso é aproximadamente igual a -50,2°. Então, este ângulo aqui vai ser aproximadamente igual a -50,2°. Mas, se você observar bem, este ângulo aqui não aparenta ser -50,2°, não é? Ele é bem maior do que isso. Então, vamos guardar esse resultado. Deixa eu apagar isto e guardar este resultado a que chegamos -50,2° aproximadamente. Aproximadamente isso ,-50,2°. Como podemos observar aqui, este ângulo aqui é bem maior do que esse 50,2°, certo? Como a gente sabe, a função tangente é uma função que varia de -π sobre 2 a π sobre 2. Então, quando a gente utiliza essas componentes deste vetor , quando este vetor se encontra aqui no segundo quadrante, o valor do ângulo que ele vai dar para a gente, na verdade, vai ser este daqui, que é o -50,2°. E a gente sabe que todo este ângulo aqui, ou seja, tudo isso aqui, possui 180°. Uma forma, então, de determinar este ângulo aqui, que nós estamos querendo encontrar, seria somando estes dois ângulos. Ou seja, -50,2°, vamos colocar aqui -50,2° mais 180°. Então, teríamos mais 180°. E isto aqui vai ser aproximadamente igual a 129,8°. Então, este ângulo θ aqui, na verdade, seria aproximadamente igual a 129,8°. Isso é muito interessante que, para determinar isso, simplesmente utilizamos os valores destas componentes, certo? Mas, existe uma outra forma também de terminar este valor. A gente pegando, por exemplo, esta componente vertical aqui que tem um valor igual a 6, e pegando esta componente horizontal aqui, pelo menos o módulo desta componente aqui, que tem um valor igual a 5, e aí a gente pode determinar, por exemplo, este ângulo "x" aqui. Para poder determinar este ângulo "x", a gente vai usar a mesma ideia, certo? A gente vem aqui e diz que a tangente de "x" é igual ao cateto oposto, e o cateto oposto, neste caso, é o 6, sobre o cateto adjacente, que neste caso é o 5, certo? Então, "x" neste caso vai ser igual à função inversa da tangente, que é o arcotangente de 6 sobre 5. Então, vamos fazer isto agora. Vamos lá pegar a calculadora. O arcotangente de 6 dividido por 5 é igual a 50,2°. Então, nós temos aqui que este "x" vai ser aproximadamente igual a 50,2°. Então, poderíamos utilizar esta ideia deste ângulo aqui, que a gente já sabe que tem este valor aproximadamente igual a 50,2°, e simplesmente fazer o seguinte: eu sei que daqui até aqui eu tenho 180°, certo? Então, bastaria pegar esse 180° e subtrair com este "x", e "x" é 50,2°. Pegando 180 menos 50,2°, a gente chega ao 129,8°, que é o mesmo valor que a gente tinha calculado anteriormente. Então, nós temos essas duas formas de fazer isso: pegando diretamente os valores das componentes com os sinais e, aí, a gente vai chegar a um valor negativo deste ângulo; a gente vai utilizar o ângulo complementar neste caso, e somar os dois valores, por exemplo, -50,2° mais 180°, e isso aqui me dá 129,8°. Ou a gente pode, simplesmente, pegar os valores absolutos aqui fazendo um triângulo retângulo e pegando 6 sobre 5, que é a tangente deste ângulo. Chegando a esse valor, a gente pode simplesmente pegar o 180° e subtrair com esse valor e aí a gente vai conseguir chegar ao valor deste ângulo θ. Então, nós vimos duas formas interessantes de calcular o ângulo de um vetor, tanto quando ele está no primeiro quadrante ou quando ele está no segundo quadrante. Espero que você tenha gostado deste vídeo. Vejo vocês no próximo vídeo.