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Magnitude de vetores a partir do gráfico

Dado o gráfico de um vetor, encontramos sua magnitude.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Nós já vimos nos vídeos anteriores que normalmente o vetor tem um módulo, uma direção e um sentido. Neste vídeo nós vamos ver como determinar o módulo de um vetor. Como exemplo, nós temos um vetor u partindo desse ponto que tem essas coordenadas (2,9) e vindo até esse ponto que tem como coordenadas (5,2). Então se a gente quer determinar o módulo desse vetor u, basta simplesmente aplicar o teorema de Pitágoras em que temos que esse módulo vai ser igual à raiz quadrada da variação desse vetor na direção x elevada ao quadrado, mais a variação desse vetor na direção y elevada ao quadrado. Então a gente vai ter aqui, na verdade, um Δx² mais um Δy². Lembrando que a letra grega Δ (delta) sempre vai significar a variação, ou seja, o quanto que muda de alguma coisa. Aqui neste caso, se a gente está querendo saber quanto que muda na direção x e quanto muda na direção y, a gente pode partir desse ponto aqui e vir até o 2, já que esse vetor parte do 9 na direção y e vem até 2 na direção y. Então teremos algo desse jeito, partindo desse ponto e vindo até esse ponto. Então essa variação aqui no eixo y, ou seja, o Δy vai ser igual... Como se trata de uma variação, basta simplesmente fazer a diferença entre esses dois pontos, começando sempre do ponto final, 2 menos 9. 2 menos 9 vai ser igual a -7. Então teremos uma variação no eixo y de -7. Agora a gente pode partir desse ponto e vir até esse ponto no eixo x. No eixo x a gente vai partir do 2 e ir até 5. Então essa variação aqui no x vai ser o Δx, que a gente calcula da mesma forma: pegando o ponto final que é 5 e subtraindo pelo ponto inicial. Então teremos 5 menos 2. 5 menos 2 é igual a 3. Teremos um Δy igual a -7 e um Δx igual a 3. Então a forma de determinar o tamanho desse vetor aqui seria trabalhando com o teorema de Pitágoras: pegando o tamanho desse vetor Δx, elevando-o ao quadrado, e somando-o com o tamanho desse vetor Δy elevado ao quadrado. Mas você vai falar para mim o seguinte: "Calma aí. A gente tem um tamanho aqui sendo negativo? É impossível a gente ter um tamanho negativo. É apenas positivo." Tudo bem, mas o que a gente vai fazer aqui é pegar o valor absoluto desse Δy. E o valor absoluto de -7 é 7. Então o tamanho é positivo nesse caso. Mas mesmo que pegue esse valor negativo e leve para o teorema de Pitágoras, você vai ter -7² e todo número negativo elevado ao quadrado, ou seja, todo número negativo multiplicado por ele mesmo se torna um número positivo. Então não tem problema pegar esse valor negativo e colocar aqui, porque de qualquer forma você vai ter o valor absoluto que vai ser positivo. Então continuando. O módulo desse vetor u vai ser igual à raiz quadrada de Δx², ou seja, 3² e 3² é igual a 9, e a gente já pode colocar isso direto, mais Δy que é o -7, ou 7², e 7² é igual a 49. Então o módulo desse vetor u vai ser igual à raiz quadrada de 57. Repetindo, meu amigo: se você quer determinar o módulo de um vetor, basta simplesmente pegar essa variação na direção y, elevar ao quadrado, e somar com a variação na direção x também ao quadrado e tirar a raiz quadrada disso, ou seja, basta aplicar o teorema de Pitágoras. E não importa se uma dessas variações é negativa, porque quando você elevar ao quadrado ela vai se tornar positiva, já que a gente está interessado apenas no valor absoluto, ou seja, no tamanho de um vetor. Dessa forma, tirando a raiz quadrada da soma desses quadrados a gente consegue chegar ao módulo desse vetor, que nesse caso aqui foi a raiz quadrada de 57.