Multiplicação escalar: forma polar

RKA3JV - Temos aqui o vetor "v" com as suas componentes sendo as variáveis "x" e "y". Nós não temos os valores de "x" e "y", mas sabemos que este vetor é formado por estas duas componentes, que são essas duas variáveis. E o módulo desse vetor "v" é igual a 5. Complete as frases abaixo com as informações que faltam. O vetor "w", que é igual a (3x, 3y), aqui, nesse caso, agora nós temos duas componentes para esse vetor "w" sendo que a primeira componente é 3x e a segunda componente é 3y. Isso aqui seria a mesma coisa que a gente multiplicar um vetor com as componentes (x, y) pelo escalar 3. Então, nós teríamos aqui que esse vetor "w" na verdade, é igual a 3, que é esse escalar aqui, vezes (x, y) que são essas duas componentes aqui. Então, esse vetor "w" seria esse escalar multiplicando essas componentes. Mas, como a gente sabe, essas componentes aqui, nada mais é do que o vetor "v", certo? Então, o vetor "w" seria, na verdade, o escalar 3 multiplicando o vetor "v". Nesse caso, a gente quer saber o módulo de "w". Como a gente não conhece suas componentes, não temos como determinar o módulo de "w". Mas, como a gente sabe que "w" é o escalar 3, vezes esse vetor "v", para determinar o módulo de "w", bastaria multiplicar 5, que é o módulo de "v" por 3. Assim, teríamos 3 vezes 5, que é o módulo do vetor "w". Então, 3 vezes 5 é igual a 15. Continuando, temos agora um vetor "z", que é igual a (-2x, -2y). As componentes aqui, a primeira componente é -2x e a segunda componente é -2y. Aqui, podemos fazer a mesma coisa, já que temos um escalar -2 aqui, multiplicando tanto "x" quanto "y", a gente pode dizer que o vetor "z" é igual a -2 vezes este escalar aqui, vezes as componentes deste vetor aqui, que é (x, y). Só que, novamente, nós temos que essa componente (x, y) é o vetor "v". Então, nós temos aqui que "z" é igual a -2 vezes o vetor "v". E, novamente, o problema está pedindo o módulo do vetor "z", mas, como não temos os valores dessas variáveis aqui, fica impossível determinar esse módulo. Mas, como nós sabemos que o módulo do vetor "v" é igual a 5, nós podemos simplesmente multiplicar -2 com 5 e isso vai ser igual a -10. Entretanto, o módulo sempre é positivo, afinal de contas, nós estamos querendo determinar o tamanho de um vetor. Então, independentemente de aqui ser um número negativo, o módulo sempre será positivo, já que se trata do tamanho de um vetor. Então, 2 vezes 5 será igual a 10. Então, o módulo desse vetor "z" é igual a 10. Próxima questão. Associe cada um dos vetores definidos acima ao vetor que pode ser seu equivalente. A primeira coisa que nós temos que fazer aqui é ordenar os módulos dos vetores, para a gente saber o tamanho de cada um desses vetores. O menor vetor de todos aqui é esse vetor "v", que tem um módulo igual a 5. E o maior é o "w", que tem um módulo igual a 15. O vetor que está entre eles é este "z", que tem o módulo 10. Então, como temos aqui que o menor vetor de todos é o "v", é o que tem o menor módulo, o vetor que o representa aqui, entre esses três, seria esse último aqui. Então, a gente pode vir aqui, fazer um corte e colocá-lo aqui para cima, aqui em cima, já que esse vetor aqui é o que se trata do vetor "v". O maior vetor de todos é o "w", e, dentre os três que estão aqui, esse vetor já está na posição correta, porque ele representa o vetor "w". E o "z", nesse caso, seria o vetor intermediário, seria o que está entre os dois. Então, a gente pode vir aqui e fazer um corte nesse vetor, e colocá-lo aqui embaixo. Só para ajeitar, agora, vamos puxar esse aqui para cá e pronto! Temos a ordenação certa. Este aqui sendo o menor de todos, que é o vetor "v", este aqui sendo o maior de todos, que é o vetor "w", e este aqui sendo o vetor intermediário. O interessante, também, é que o sentido desse vetor "z" está ao contrário, está contra o sentido do vetor "v" e do vetor "w", já que ele se trata de um vetor negativo, já que esse vetor está sendo multiplicado por um escalar negativo. Vamos resolver um outro problema parecido. Temos agora, novamente, o vetor "v", com as suas componentes sendo as duas variáveis (x, y), só que, nesse caso, agora, o módulo desse vetor é igual a 10. Complete as frases com as informações que faltam. O vetor "w" é igual a 1/5 de "x", e a outra componente é 1/5 de "y". Como temos aqui um escalar multiplicando essas duas componentes, esse vetor "w" aqui é igual a 1/5 das componentes (x, y). Então, nós temos esse escalar multiplicando essas duas componentes. E, como sabemos, estas duas componentes formam o vetor "v". Então, temos aqui 1/5 multiplicando o vetor "v". Como nós queremos determinar, agora, o módulo de "w", podemos usar a mesma ideia que usamos anteriormente. Se o módulo de "v" é igual a 10, basta simplesmente multiplicar esse 1/5 pelo 10, para a gente conseguir determinar esse módulo de "w". E 1/5 vezes 10 é igual a 2, então, o módulo de "w" é igual a 2. O vetor "z" é igual a 3/5 de "x" e 3/5 de "y". Temos essas duas componentes, então, o vetor "z" aqui, agora, é igual a 3/5 de (x, y). E esse "x" e "y" são as componentes do vetor "v". Temos 3/5 do vetor "v". Esse escalar 3/5 multiplicando esse vetor "v". Como queremos, agora, determinar o módulo do vetor "z", basta simplesmente multiplicar 3/5 com o módulo do vetor "v". E 3 vezes 10 sobre 5 é igual a 6. Então, temos aqui, o módulo do vetor "w" sendo igual a 2 e o módulo do vetor "z" sendo igual a 6. Abaixo, nós temos que associar cada um dos vetores definidos acima ao vetor que pode ser o seu equivalente. Vamos, novamente, ordenar os vetores aqui. A gente sabe que o maior vetor aqui é o vetor "v", o que tem o maior módulo. O menor vetor é esse vetor "w" aqui, que tem o módulo igual a 2. E o vetor intermediário é esse "z", que tem um módulo igual a 6. Então, o vetor "v" já está correto aqui, sendo o maior de todos. Agora, o vetor "w" é o menor de todos, então, seria esse verde aqui embaixo. A gente pode vir aqui, fazer um corte, e levá-lo aqui para cima, já que ele é o vetor "w", e esse outro vetor aqui, representa o vetor "z". E o vetor "z" seria o vetor intermediário, então, seria esse aqui. A gente o coloca aqui embaixo, para reordenar. Ok, temos agora todos os três vetores ordenados da forma correta. Sendo o vetor "v" o maior de todos o vetor "w" sendo o menor de todos, e o vetor "z" sendo esse intermediário. Este aqui é um vetor de módulo 10, esse aqui é um vetor com o módulo 1/5 de 10, que é esse 2 aqui, e este aqui é um vetor que é 3/5 de 10, que é esse vetor, com módulo 6. Eu espero que você tenha gostado deste vídeo, e nos vemos no próximo vídeo!