Multiplicação escalar: forma retangular

RKA1JV - O que nós vamos fazer neste vídeo hoje é multiplicar um vetor por um escalar. Mas o que seria multiplicar um vetor por um escalar? Para a gente começar a pensar essas ideias, vamos pegar um vetor "W" em que as componentes desse vetor "W" são iguais a 1 e 2. E nós vamos trabalhar com esse vetor aqui para fazer multiplicação por escalar. Mas, antes de fazer isso, vamos representar esse vetor no nosso sistema de coordenadas porque é sempre melhor desenhar o vetor, porque fica mais fácil visualizar. Vamos colocar aqui o nosso eixo "x" e o nosso eixo "y" aqui. E esse vetor "W", a gente vai colocar a origem dele aqui na origem desse sistema de coordenadas. Se a gente vai colocar a origem desse vetor na origem desse sistema de coordenadas, a gente vai ter essas componentes aqui, 1 e 2, ok? Vamos traçar 1 no eixo "x" e 2 no eixo "y". Esse vetor vai partir com a origem aqui desse ponto e vai vir até esse ponto aqui mais ou menos. É onde esse par ordenado está, 1 e 2. Teremos aqui o vetor partindo daqui e vindo até esse ponto no qual a gente tem aqui a coordenada "x" sendo 1, e a coordenada "y" sendo 2. Na verdade, a gente poderia pegar esse vetor aqui e desloca-lo para qualquer lugar sem alterar a magnitude. Ou seja, sem alterar o tamanho desse vetor e sem alterar a direção dele. Mas é muito mais conveniente colocar a origem desse vetor sempre na origem desse sistema de coordenadas. Se um problema que você estiver resolvendo não falar nada a respeito disso, você pode colocar a origem aqui na origem desse sistema. Agora que já representamos esse vetor "W", o que seria multiplicá-lo por um escalar? Quando você multiplica um vetor por um escalar, a única coisa que ele faz é alterar a magnitude desse vetor. Você não altera a direção ou o ângulo que ele faz em relação ao eixo "x". É apenas a magnitude dele. Você pode até pensar no escalar como sendo aqueles números que você aprende logo desde criança, sabe? Os números 1, 2, 3 ,4. Quando a gente pega esse vetor e multiplica por um desses números, a gente está multiplicando esse vetor por um escalar. Por exemplo, vamos imaginar que a gente queira multiplicar esse vetor "W" por um escalar 3. Então, a gente teria 3 vezes o vetor "W". Nesse caso, quando a gente multiplica um vetor por um escalar, a gente poderia pegar cada uma das componentes desse vetor e multiplicar por 3. Então, teríamos aqui, por exemplo, deixa eu colocar aqui, a gente vai pegar essa componente 1 e a gente vai pegar essa componente 2. E vai multiplicar por 3. A gente vai ter 3 vezes 1 e 3 vezes 2. Assim, a gente chegaria a algo que é igual a 3 vezes 1, 3 vezes 1 é 3, e 3 vezes 2 é 6. Então, esse vetor "3W" seria um vetor que tem as suas componentes sendo (3, 6). A gente pode inclusive representar isso aqui também de forma geométrica. A gente pode vir aqui e colocar essas componentes. Sendo aqui 1, 2, 3. 3 no eixo "x" e 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6 e no eixo "y". Colocando a origem dele aqui na origem do sistema de coordenadas, a gente vem até esse ponto aqui mais ou menos. Vamos lá traçar esse vetor, então. A gente parte aqui da origem e vem com ele até aqui. Esse vetor seria o nosso vetor "3W". Agora observe o que aconteceu aqui. Na verdade, quando a gente pega esse vetor "W" e multiplica por 3, a gente não altera a direção desse vetor. A única coisa que a gente fez foi um vetor três vezes maior que o "W". Se você pegar, por exemplo, o tamanho desse vetor "W", você vai ver que esse outro vetor azul aqui tem 3 vezes esse tamanho. Então, lembre-se, quando a gente multiplica o vetor por um escalar, a única coisa que a gente faz é alterar a magnitude desse vetor. A gente não altera a direção dele. Vamos ver um novo exemplo agora. Vamos pegar esse vetor "W" e multiplicar por -2. Nós teremos aqui -2 sendo esse escalar, vezes o vetor "W". Vamos lá, novamente. A gente vai multiplicar as suas duas componentes (1, 2) por esse -2 aqui, então teremos -2 vezes 1, e -2 vezes 2. Isso aqui vai ser igual a, -2 vezes 1, é -2. E -2 vezes 2 é -4. Então, também podemos representar esse vetor aqui no nosso sistema de coordenadas de forma geométrica. E teremos essas coordenadas: - 2 no eixo "x" e -4 no eixo "y". Teremos aqui -2 e -4. Sei que fugiu um pouco do que eu tinha desenhado inicialmente, mas tudo bem, dá para representar da mesma forma. E a gente vai colocar também a origem dele aqui na origem desse sistema de coordenadas. E tendo o ponto final dele nessas duas coordenadas -2 e -4. Então, vai vir mais ou menos até esse ponto aqui, ok? Vamos traçar esse vetor. Aqui nós temos o nosso vetor "-2W". Agora repare o seguinte: a gente tem aqui um valor negativo e o número. O negativo, quando a gente coloca esse "-" aqui, o que a gente está fazendo é inverter o sentido desse vetor. Se esse vetor estava apontado lá para cima, para essa diagonal aqui, quando a gente coloca esse negativo, a gente vai ter um vetor com o sentido oposto. A gente vai fazer com que a orientação dele sofra uma mudança de 180 graus. Temos o sentido contrário aqui nesse caso. E o 2, a gente vai multiplicar esse vetor aqui por esse número 2. A gente vai ter um vetor com o tamanho duas vezes maior que o nosso "W" Então, o negativo muda o sentido e esse número altera o tamanho desse vetor. Sempre que você estiver pensando em um escalar, ou seja, multiplicar um vetor por um escalar. A gente pode, inclusive, até escrever isso aqui. A gente vai ter um escalar. O que a gente faz, na verdade, é escalar esse vetor, ou seja, alterar o tamanho, a magnitude desse vetor. Sem mudar a direção desse vetor. E, quando a gente tem um negativo na frente desse escalar, neste caso, o -2, a gente altera o sentido desse vetor. Além de alterar o tamanho dele. Espero que você tenha gostado desse vídeo e até a próxima!