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Exemplo resolvido: como encontrar um vetor unitário, dado seu sentido

Transcrição de vídeo

RKA2MP Quero mostrar a você neste vídeo o conceito de vetor unitário, um vetor orientado em uma determinada direção, cujo módulo é igual a 1. Vamos escrever isso para ficar bem entendido: módulo igual a 1. Você vai dizer: "É bastante simples, intuitivo até. Claro que um vetor unitário vai ter módulo igual a 1." É simples, de verdade. Mas esse conceito é bastante poderoso para ajudar a gente nas operações entre vetores. Vamos usar neste vídeo, como exemplo, o vetor "a", cuja dimensão horizontal é igual a 3 e a dimensão vertical é igual a 4 unidades. Vamos fazer um esboço. Dimensão vertical igual a 4. Então, sabemos que o vetor "a", geometricamente, pode ser desenhado aqui. Aqui está o vetor "a", com sua orientação e seu sentido. Muito bem. Vetor "a", aqui colocado. Se queremos saber o comprimento de "a", como são dimensão vertical e horizontal, sabemos que elas são perpendiculares. Temos um triângulo retângulo. Podemos usar o teorema de Pitágoras. Vamos calcular o comprimento, o valor do módulo do vetor "a", que é denotado por estas barras duplas. Como temos um triângulo retângulo, veja só: é como se fosse a hipotenusa. O valor da hipotenusa será a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. É mais fácil escrever: raiz quadrada da soma dos quadrados da componente horizontal (poderia ser primeiro a vertical, mas tudo bem, é uma questão de normalidade). 3² + 4². Isso resulta... De cabeça, vamos lá. 3² = 9. 4² = 16. 9 + 16 = 25. E você sabe que a raiz quadrada de 25 é igual a 5. Ou seja, o módulo do vetor "a", o comprimento do vetor "a", vale 5 unidades. Podemos tranquilamente representar assim. Muito bem. Claro, o vetor "a" não é um vetor unitário. Nós queremos, neste exercício, mostrar como determinar um vetor de módulo igual a 1 (aqui está, módulo igual a 1) na mesma direção e mesmo sentido do vetor "a". Para fazer essa determinação, devemos determinar os valores da componente horizontal e vertical desse vetor unitário que vamos chamar pela letra "u". E esse vetor, em vez da flechinha, nós vamos usar um circunflexo, que é característico de vetor unitário. Como serão essas dimensões, a dimensão horizontal e vertical? É bastante simples. Pense nisto: aqui, o vetor "a" tem comprimento igual a 5. Se nós dividirmos esse valor pelo módulo de "a", que também vale 5, 5 dividido por 5, temos 1, que é o valor do módulo do vetor unitário. Se nós dividimos o vetor por 5, pelo módulo de "a", então, também vamos dividir suas componentes. Componente horizontal 3, dividido pelo módulo de "a". É sempre assim, qualquer vetor que você queira, se você quiser calcular as componentes de um dado vetor unitário. Dimensão horizontal dividida pelo módulo do vetor, seguido da dimensão vertical dividida, também, pelo módulo do vetor. Temos aqui, neste caso, dividido pelo módulo de "a". Então, o vetor "u" terá as seguintes dimensões: na horizontal, 3 dividido por... Qual é o módulo de "a"? Fácil, não é verdade? 3/5 na dimensão horizontal. E aqui teremos, na dimensão vertical, 4/5 também. Da mesma forma como a gente faria a escala de um mapa. Se dividirmos uma dimensão por um valor, todas as dimensões serão igualmente divididas de maneira proporcional. Temos aqui a dimensão horizontal e vertical do vetor unitário "u". Se quiser comprovar estes valores, você sabe que o vetor tem módulo igual a 1. Vamos calcular o módulo do vetor unitário. Tem que dar 1. Vamos ver como fazer isso: da mesma forma como a gente fez o módulo de "a". Raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes. Vamos lá. Componentes, no caso, é 3/5 (componente horizontal). Qual é o quadrado de 3/5? O quadrado de uma fração, basta você elevar ao quadrado o numerador e, em seguida, o denominador ao quadrado. 5² = 25, 3² = 9. No caso da dimensão vertical, 4² = 16, também sobre 25. 16/25. Para terminar, basta a gente... Como é que faz a soma de duas frações? No caso, é bastante simples, visto que o denominador é igual. Quando o denominador é igual, por favor, não vá fazer 25 + 25 = 50! O denominador permanece o mesmo quando já está igualado. A gente faz a adição apenas dos numeradores. 9 + 16 = 25. Temos que o módulo de "u" será a raiz quadrada de 25 dividido por 25. Não dá zero, como muita gente pensa! É igual a 1. Esse erro é comum e deve ser evitado. A raiz quadrada de 1 é igual a 1 que, realmente, como a gente sabia, é o módulo do vetor unitário. Neste caso, comprovamos: é um vetor orientado no mesmo sentido de "a", temos aqui suas componentes e esse vetor realmente tem módulo 1, como esperado.