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Representação gráfica de crescimento e decaimento exponencial

Transcrição de vídeo

RKA - O que você vê aqui é um gráfico de funções exponenciais básicas da Khan Academy e está sendo pedido para que nós representemos graficamente esta função exponencial definida por h(x) igual a 27 vezes 1 terço elevado a x. Ou seja, o valor inicial é 27 e a base é 1 terço; ela já está escrita na forma padrão das funções exponenciais. Temos aqui uma ferramenta gráfica que nos permite definir as posições de dois pontos para definir o gráfico da função exponencial. E podemos também definir a assíntota horizontal do gráfico. E essas 3 coisas são suficientes para definir o gráfico da função exponencial que procuramos. A coisa mais simples pela qual podemos começar provavelmente é pensar, sobre o valor inicial da função. O valor inicial da função é aquele obtido quando x vale zero. Quando o x é zero, temos 1 terço elevado a zero que resulta em 1, multiplicando por 27 nos resulta 27. E é por isso que o 27 é chamado valor inicial quando escrevemos a função desta forma. Então, quando x é zero, o h(x) é 27, vou localizar o ponto aqui. Vamos agora localizar o outro ponto, vamos pensar um pouco quando x vale 1, qual será o valor do h(x)? Vai ser 1 terço elevado a primeira potência, que é um terço multiplicado por 27, o que dá resultado 9, ou seja, quando x é 1, o h(x) é 9. Localizamos aqui então o ponto. Vamos agora pensar sobre a assíntota. O que acontece com a função quando x vai crescendo muito e vai virando muito grande? Observando 1 terço elevado a um expoente, imaginando que esse expoente seja grande, por exemplo, 1 terço elevado a 10, elevado a 100, ou até mesmo elevado a mil, nós vamos ter um resultado que se aproxima cada vez mais de zero. Em um valor que se aproxima cada vez mais de zero multiplicado por 27, vai dar um resultado que também se aproxima cada vez mais de zero. O modo que vamos ter a assíntota horizontal no zero, coincidindo com o eixo x. Podemos verificar se as nossas conclusões estão razoáveis, usando algum outro valor para x, por exemplo, se o x for 2, se o x for 2, no gráfico está indicando que o h(2) tem que ser 3. Colocando 2 na expressão no lugar do x, teremos um terço elevado ao quadrado, que é um nono vezes 27, de fato dá 3. De fato então, quando x é 2, o h(x) é 3. Vamos agora fazer um outro exemplo. Vamos representar graficamente esta função exponencial e vamos usar a mesma lógica. Pensando em x igual a zero, o g(0) vai ser exatamente o -30, vou localizar o ponto aqui, e se o x for 1, por exemplo, teríamos 2 elevado a primeira que é 2, vezes -30, vai resultar em -60. Localizando aqui, se o x for 1, o resultado da expressão é -60. Vamos analisar a assíntota agora, onde ela deve ficar. Pela forma do gráfico devemos analisar valores de x que ficam cada vez mais negativos, ou seja, cada vez menores. Observe que 2 elevado a -1 dá meio. 2 elevado a -2 dá 1 quarto. 2 elevado a -3 dá 1oitavo e assim por diante. Ou seja, quanto menor o valor de x, mais se aproxima de zero o resultado de 2 elevado a x. E -30 multiplicando algo que se aproxima cada vez mais de zero, vai também se aproximar a zero. Então, a assíntota aqui onde ela já está, está no lugar correto. Ou seja, quanto mais à esquerda no eixo x, vemos que o gráfico vai se aproximando cada vez mais do zero. Quanto menor o x, o valor da função mais se aproxima do zero. Podemos também ver que o valor da função se aproxima do zero a partir de valores negativos porque já tínhamos analisados o valor inicial e a base da potência. Até o próximo vídeo!