Multiplicação de binômios por polinômios: modelo de área

RKA - O que eu quero, nesse vídeo, é calcular a área desse retângulo grande todo aqui. E aí, você percebe que esse retângulo grande aqui está subdividido em outros 6 retângulos menores. Então, eu posso de repente analisar a área desse retângulo grande como sendo a soma de todas essas áreas menores aqui. Mas também tem uma outra maneira de interpretar isso daqui. A gente sabe muito bem que a área de um retângulo é a sua base multiplicada pela sua altura. Qual é a altura desse retângulo aqui? Você percebe que daqui até aqui, é y² e depois, daqui até aqui, vale -6y. Mas altura negativa, - 6y? Se esse y for negativo, então -6 vezes um outro número negativo ali, vai me dar um número positivo. Então, pode muito bem ser -6 aqui tranquilamente, sem problema algum. Então, a altura desse retângulo é y² + (- 6y) ou y² - 6y, vamos escrever isso daqui: y² - 6y, e aí vou multiplicar isso pela sua largura, pela base dele aqui. E a base desse retângulo é 3y², desse pedaço aqui, depois, daqui até aqui vale -2y e, novamente, aqui pode ser positivo se o y for negativo e daqui até aqui que vale 1. Então, vou multiplicar por isso daqui. A multiplicação por 3y² + (-2y), que vai dar - 2y, mais 1. E aí, se eu multiplicar isso daqui, eu vou ter a área total desse retângulo, porém, antes de efetuar essa multiplicação, vou fazer isso só no final, eu vou primeiro colocar quanto mede a área de cada um desses retângulos aqui. Esse retângulo aqui, primeiro, vai ser base vezes altura, todos os retângulos são base vezes altura. A base dele é 3y², então posso multiplicar 3y² vezes a sua altura, que é y². Isso vai me dar igual a quanto? 3y² vezes y² vai dar 3y⁴. Y² vezes y² é y⁴. Agora esse outro retângulo aqui? A base dele é -2y, então aqui vai ser -2y, vezes aquele y² ali, que é a altura, a altura é a mesma, que é y². Então, isso aqui vai ser igual a menos 2y³, porque y vezes y² dá y³. E aqui, uma vez o y² é igual ao próprio y². Esse retângulo verde agora, ele é quanto? A largura dele é 3y², então posso multiplicar 3y² por -6y, vezes -6y aqui. E aí, ao multiplicar isso, 3 vezes -6 dá -18. Y² vezes y dá y³. Agora, esse daqui cinza, o cinza vai ser -2y, -2y vezes -6y. É a base, que é -2y vezes a altura, que é - 6y, é a mesma altura aqui. Então, isso aqui é igual a quanto? -2 vezes -6 vai dar 12 positivo. Menos vezes menos dá mais. 2 vezes 6 dá 12. Y vezes y dá y². E, finalmente, esse último retângulo aqui, vai ser quanto? 1, uma vez essa altura de -6y. 1 vez -6y, ou seja, isso aqui vai ser igual a -6y. Agora é o seguinte, como eu sei que a soma desse retângulo aqui, a área dele aliás, como a área dele é a soma de todas as outras áreas, basta somar cada um desses valores que encontrei. Então, fazendo ali na cor correspondente, eu vou ter o seguinte: 3y⁴. Vou colocar aqui assim 3y⁴ + (-2y³) Então, vai dar um número negativo no final. Deixa eu colocar aqui de amarelo. Então, - 2y³. Aqui y², então vou somar y², está em azul, mais y². Agora aqui, essa área verde é -18y³ Vamos colocar aqui embaixo -18y³. Essa área cinza, vou colocar de preto, vai dar 12y² positivo, então 12y². E, finalmente, aquela área roxa vai ser -6y. E aí, acaba por aqui? Claro que não! Perceba que eu posso muito bem aqui, simplificar termos semelhantes, por exemplo, o 3y⁴. Esse só aparece aqui, então posso reescrevê-lo novamente aqui porque ele não tem nenhum outro termo semelhante, então 3y⁴. Agora o y³, eu tenho y³ e aqui eu tenho y³ também. Então, são termos semelhantes, eu posso fazer a conta entre eles. - 2y³ -18y³ vai dar -20. Então, -18 - 2 dá -20. Então, aqui vai dar -20y³. E o y² ali, y² tem aqui, está positivo e tem também aqui, também é positivo. Então, y² + 12y² vai dar 13, então vai dar 13y² positivo aqui, + 13y² e finalmente esse -6y que só aparece aqui. Então, -6y. Essa expressão toda aqui é a área daquele retângulo grande. Então, se eu somar tudo isso daqui, depois reduzir os termos semelhantes, tem a mesma letra, o mesmo grau, eu posso reduzir aqui tranquilamente, eu vou encontrar essa expressão para a área desse retângulo grande aqui. Agora, perceba uma coisa comigo. Se eu efetuar essas multiplicações todas aqui, pegar esse binômio multiplicar por esse trinômio aqui, eu vou encontrar exatamente essa mesma expressão no final das contas. Primeiro eu vou encontrar essa daqui, depois eu vou encontrar essa daqui, porque o grande objetivo desse vídeo é mostrar para você que isso daqui também vai dá área, desse retângulo grande aqui. Perceba que se eu multiplicar o y² por 13y² dá 3y⁴, desse termo aqui que é esse mesmo daqui. Depois, y² vezes -2y, vai dar -2y³ que é essa área aqui desse retângulo e y² vezes 1 dá y², é essa área aqui. Depois, eu vou pegar o -6y e vou multiplicar por todo mundo ali também. Então, perceba que ao multiplicar y² deu toda essa primeira linha aqui de retângulos. E ao multiplicar - 6y, agora eu vou encontrar todas essas áreas aqui, da segunda linha de retângulos, -6y vezes 3y² vai dar -18y³, que vai dar exatamente isso daqui. -6y vezes -2y vai dar + 12y², essa área aqui. E - 6y vezes 1 vai dar - 6y, que é essa área que você percebe que essa expressão aqui, essa multiplicação de polinômios, vai dar exatamente a mesma área que eu encontrei, fazendo áreas separadamente de cada um dos retângulos. Até o próximo vídeo!