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Mais exemplos de produtos notáveis

Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo quero usar alguns exemplos que tratam sobre o que, provavelmente, são os dois tipos mais comuns de multiplicação de polinômios que encontrará na álgebra. O primeiro tipo é, apenas, o quadrado de um binômio. Se eu tenho "x" mais 9 ao quadrado, sei que a tentação comum é dizer: "Ah! Isso não é igual a 'x²' mais 9²?". Eu direi: "Não, não é. Você precisa resistir a esse impulso natural de fazer isso." Não é "x²" mais 9². Lembre-se: "x" mais 9 ao quadrado é igual a "x" mais 9 vezes "x" mais 9. Essa é uma multiplicação desse binômio vezes ele mesmo. Você precisa se lembrar disso sempre, é muito tentador pensar que é, apenas, "x²" mais 9², porém, não é. Precisa expandir isso. Agora que já expandimos isso, podemos usar algumas das lições que aprendemos no último vídeo para multiplicar isso. Só para te mostrar que podemos fazer isso do mesmo jeito que multiplicamos o trinômio na última vez, vamos multiplicar "x" mais 9 vezes "x" mais 9, na cor roxa. Estou fazendo isso assim, apenas, para te mostrar quando multiplico por 9 e por esse "x". Vamos fazer isso. Então, 9 vezes 9 é igual a 81, coloque-o no lugar das constantes, 9 vezes "x" igual 9x. Temos, vou trocar para esse termo "x". Temos um "x" amarelo, "x" vezes 9 igual a 9x, coloque-o no lugar do primeiro grau. "x" vezes "x" igual a "x²", somamos tudo junto e temos: "x²" mais 18x mais 81. Então, isso é igual à "x²" mais 18x mais 81. Agora, poderá ver um certo padrão acontecendo aqui. Eu vou, na verdade, deixar esse padrão explícito daqui a pouco mas, quando eleva um binômio ao quadrado o que acontece? Você tem "x²", você tem esse "x" vezes esse "x" que resulta em "x²", você tem o 9 vezes 9 que é 81 e tem esse termo aqui que é 18x, como chegamos nesse 18x? Multiplicamos esse "x" vezes 9 para obter os 9x e multiplicamos esse 9 vezes "x" para obter esse outro 9x e somamos os dois aqui para chegar a 18x. Em geral, sempre que tiver um binômio ao quadrado, deixa eu fazer dessa forma. Vou fazer em termos bem gerais, digamos que "a" mais "b" ao quadrado, deixa eu multiplicar isso desse jeito para te dar uma noção melhor, isso é igual a "a" mais "b" vezes "a" mais, vou fazer o "b" de cor verde aqui, temos "b" vezes "b" que é "b²". Vamos assumir que esse é um termo constante, vou colocar o "b²" aqui. Estou assumindo que esta é uma constante, então, essa seria uma constante e seria análoga ao nosso 81, "a" é uma variável que, na verdade, vou fazer de um jeito ainda melhor, deixa eu fazer isso em "x" mais "b" ao quadrado e que estamos assumindo que "b" é uma constante, seria "x" mais "b" vezes "x" mais "b", em verde. Então, assumindo que "b" é uma constante, "b" vezes "b" igual a b²", "b" bvezes "x" igual "bx" e, vamos fazer o "x" na cor roxa, "x" vezes "b" igual a "bx" e "x" vezes "x" igual a "x²". Quando soma alguma coisa, sobrará "x²" mais 2bx + "b²". O que vê o produto final que calcula quando temos "x" mais "b" ao quadrado é "x²" mais 2 vezes o produto de "x" e "b" mais "b²". Portanto, dado esse padrão, vamos fazer mais um monte desses exemplos e, eu irei fazer do jeito rápido. 3x menos 7 ao quadrado. Vamos lembrar do que eu disse, apenas, lembre-se, lá no fundo da sua mente, você deveria saber porquê faz sentido. Se tivesse que multiplicar isso, fazer a propriedade distributiva duas vezes, você saberá que chegou a resposta certa. Isso será igual a 3x² mais 2 vezes 3x vezes -7, correto? Sabemos que é 2 vezes o produto desses dois termos, mais -7² e, se usarmos nossas regras de produto aqui, 3x² é a mesma coisa que 9x², isso aqui terá que ter, 2 vezes 3 que é 6 vezes um -7, que é -42x, então, -7² que é igual a 49. Isso foi da maneira rápida, apenas, para ter certeza de que não estou fazendo nada bizarro, deixa fazer um pouco mais devagar: 3x menos 7 vezes 3x menos 7 -7 vezes -7, igual a +49, -7 vezes 3x igual -21x. 3x vezes -7, igual a -21x, 3x vezes 3x igual a 9x². Mude para a esquerda um pouco, some tudo, você terá 9x² menos 42x mais 49 e, chegamos a mesma resposta. Vamos fazer mais uma vez e irei fazer do jeito rápido. Se temos: 8x menos 3, na verdade, deixa eu fazer um que tem mais variáveis nele. Digamos que a gente tenha 4x² mais "y²" e, queremos levar isso ao quadrado. Bom, a ideia é a mesma, isso será igual a esse termo quadrado, "4x²" ao quadrado mais 2 vezes o produto dos dois termos, 2 vezes 4x² vezes "y²" mais "y²" ao quadrado, isso será igual a quanto? Será igual a 16, certo? 4² é igual a 16, "x²" ao quadrado, isso é 2 vezes 2, então, é "x" elevada a quarta, mais 2 vezes 4 vezes 1, isso é 8x² y² mais "y²" ao quadrado que é "y" elevado a quarta. Estamos lidando com elevar um binomial ao quadrado. O próximo exemplo que eu quero te mostrar é quando calcula o produto de uma soma por uma diferença, ele será bem interessante. Vou fazer um bem genérico para você. Vamos multiplicar "a" mais "b" vezes "a" menos "b", isso será igual a quanto? Isso será igual à "a" vezes "a", deixa eu fazer esses em cores diferentes, então, "a" menos "b", assim. Então, isso será esse "a" verde vezes esse em roxo, "a" vezes "a" mais, ou, talvez eu devesse dizer menos "a" verde vezes esse "b". Obtivemos um menos daqui e teremos o "b" verde mais o "b" verde vezes o "a" roxo. Estou multiplicando todos os termos por todos os termos, finalmente, "-b" verde, de onde o sinal de menos está vindo, menos o "b" verde vezes o "b" roxo e isso será igual a quanto? Será igual a "a²", isso é menos "ab", isso poderia ser reescrito como mais "ab" e, por último, temos menos "b²", esses aqui se cancelam, menos "ab" mais "ab", você tem, no final, "a²" menos "b²" que é um resultado bastante interessante porque, realmente, simplifica as coisas. Então, vamos usar essa noção para fazermos um pouco de multiplicação. Se eu disser 2x menos 1 vezes 2x mais 1, bom, esse produto é a mesma coisa. O 2x mais 1, você pode interpretar como "a" mais "b", se preferir, e o 2x menos 1, pode interpretar como "a" menos "b", onde este é "a" e esse é "b", esse "b" é 1. Esse é "b" e esse é "a". Usando apenas esse padrão que descobrimos agora há pouco, então, isso tudo será igual a que? Será "a²" 2x² menos "b²" menos 1². 2x² igual a 4x², 1² igual a 1, então, -1. Bom, isso deverá ser 4x² menos 1. Vamos fazer outro desses, então, apenas para entender de uma vez por todas. Irei focar na multiplicação dessa vez. Se tenho 5a menos 2b e, estou multiplicando isso, vezes 5a mais 2b e, lembre-se, isso se aplica, apenas, quando eu tenho um produto de uma soma por uma diferença, esse é o único caso no qual eu posso usar isso e, te mostrei porquê. Se estiver em dúvida, então, multiplique os números. Irá levar um pouco mais de tempo, mas verá os termos se cancelando. Não pode fazer isso para qualquer multiplicação de binômios. Viu, anteriormente, no vídeo, quando estávamos multiplicando, quando estávamos tirando os quadrados, então, esse será, usando o padrão, será 5a² menos 2b² que é igual a 25a² menos 4b², portanto, terminamos. Te vejo no próximo vídeo!